2021年1月の記事一覧

壁紙模様の対称性は17種類の平面群に分類されます．17種類の平面群の表を説明に先立ち掲載しておきます．
この表には，国際記号とロシア式記号の2通りの平面群の記述法を併記したので比較できます．今日，国際記号が一辺倒に普及していますが，群の生成元が明示されるロシア式記号は，理論的視点では特に重要です．
両方の記号の仕組みを理解するのが，この節の目標です．

ここに表示される平行四辺形は２次元の単位胞で，水平方向の軸は$$b$$，上下方向の成分をもつ軸は$$a$$（3次元の場合；紙面に垂直な軸は$$c$$）とします．

有限図形の対称性を考えるとき，対称操作の不動点となる1点（特異点と呼ぶ）があります．例えば，正6角形の対称性を考えるとき，正6角形の中心がこの特異点で，この点を通過する回転対称軸が6回回転対称軸です．

次に，このような特異点（不動点）は存在しないが，並進によって等価な点に移動するので，実質的な不動点とみなせる場合を考えます．このような図形に対しては，並進軸が特異な直線です．図形としては，棒，片面帯，両面帯をとりあげましょう．

1つの点●Ａ¹と並進ベクトル➡aが与えられたら，図のように，A¹と同価な点がaの間隔で一列に無限に並んでいる点系が得られます．この並進軸は特異な直線と一致しています．

次の図は，平行でない並進軸が２本ある図形で，並進ベクトルｂにより1列に並んだ（1次元の）点系がbの方向に次々と繰り返し並び2次元の配列が得られます．3次元への拡張も同様で，平面上に乗らない３つの並進ベクトルで点を配置した無限数の点よりなる系です．点の形の対称性は∞です（点は位置だけを示し形や大きさは意味はありません）．1つの点を並進で広げたものなのですべての点は同価です．

格子点は$$na+mb$$，（$$a$$，$$b$$を生成元とする加法群の要素）