フィボナッチ数列

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数学月間SGK通信 ［2018.04.10］ No.214
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フラクタルとフィボナッチ数列についての以下のビデオをご覧ください．
https://www.facebook.com/scifri/videos/10154643456998403/?t=0
ここに出て来る野菜のロマネスコの写真を以下に載せておきましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_1_m?1523272964
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_0_m?1523272964
不思議な形ができていますね．この形の成長の基になるフィボナッチ数列についての説明をしましょう．
フィボナッチ数列の定義は
F(n+2)=F(n+1)+F(n)，　F(1)=1，F(2)＝1　です．
等比数列の型F(n)=r^nの一般項を求めてみましょう．
　r^(n+2)=r^（n+1)+r^(n)
すなわち，　r^2-r-1=0　を満たすものが解です．
この解は　α＝(1+√5)/2　，　β＝(1-√5)/2
一般項は　F(n)＝cα^n+dβ^n　となります．
この解をF(1)，F(2)に代入し，次の連立方程式が得られます．
cα＋ｄβ=1＝F(1)
cα^2+dβ^2=1=F(2)

一方，α，βは2次方程式の解だから
α^2-α-1=0
β^2-β-1=0
を用いると，連立方程式は
cα+dβ=1
c(α+1)+d(β+1)=1
となり，c+d=0　を得ます．そして，ｃ＝1/(α-β)＝1/√5
つまり，一般項は　F(n)=c(α^n-β^n)＝(α^n-β^n)/√5　が答えです．

さて，|β|=0.618･･･<1なので，n→∞でβ^n→0
従って，ｎ→∞で，F(n)＝α^n/√5に最も近い整数です．なぜなら．F(n)は整数だからです．
隣り合うフィボナッチ数の比は，n→∞のときα＝(1+√5)/2=1.6180･･･
（αは黄金数）になります．