大阪大学オープンキャンバス

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数学月間SGK通信 ［2014.10.14］ No.033
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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大阪大学理学部数学教室は，
現代数学の様相と数学研究の実際，自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響，
文化としての数学の在り方などについて，多角的な視点から易しく解説する公開講座を，
高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています（ オープンキャンパスも同日実施されます）．
まさに数学月間の模範になるイベントで，毎年，杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています．
今年のテーマは，“多面体の不思議”でした．
2014年8月12日（火），10:00～12:00
会場：大阪大学豊中キャンパス　理学研究科 D棟 D307教室
講師：村井 聡（情報科学研究科情報基礎数学専攻　准教授）
毎年，興味深いテーマが選ばれ，私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります．
今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人（約100人）が
集まり，来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております．
（以下は私の勝手な解説ですみません）．
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多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました．
多面体で基本的な定理は，オイラーの定理V+F-E=2（３次元）が有名です．
これを使うとプラトンの正多面体（凸多面体）が５つというのがすぐ証明できます．
正多面体というのは，面が１種類の正多面体でできており，どの頂点のまわりの状態も同一なものです．
正多面体の記述は，定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います．
正p角形が頂点にq個集まっている（同じことだが辺がq個集まっている）状態は，{p,q}と記述されます．
３次元の多面体は，面が３個以上集まらないと作れませんし，面が正３角形の場合には，
６個集まると平面になってしまいますので，正3角形の面をもつ凸多面体は，{3,q}，q=3,4,5しかありません．
q=3の場合は正4面体，q=4の場合は正８面体，q=5の場合は正20面体です．

全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になり
これらをまとめてデルタ多面体と呼びます．
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが，
2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は，正4面体と正8面体です．
結晶学では良く知られていることですが，面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち，
それぞれのウイグナー-ザイツ胞（デリクレ胞とも言う）は，それぞれ菱形12面体，切頂正8面体になります．
数学と諸科学［科学や造形］の関わり合いで現れる多面体の性質は，非常に興味を惹く話題です．