美しい図形と不思議な空間

説教壇

 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．写真左Fig.1は説教壇の横にある装飾です．写真右Fig.2はステンドグラスです．
どちらも複雑な図形ですが美しい．
これらの図形の構成を調べて見ましょう．

　　Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2　
■Fig.1の図形の構成を，以下のFIg.3で説明します．
Fig.3の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...，頂角は36°，両底角は72°です．
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形Fig.1には，星形を２つ重ね合わせたものが中心にあることに，お気づきでしょうか．

Fig.3

Q:星形をこのように重ね合わせた図形の対称性は？
A:まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
2回回転対称軸２が生じるように重ね合わせたので，
重ね合わせた星形の対称性は，結局，2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形の点群5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の対称操作として理解できます．
注）数学の言葉を使うと，次のように表現されます．
点群10mmは，点群5m（これは点群10mm内の正規部分群）を核として，
群｛1,10(mod5m)｝に準同型．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
これを振り出しに戻ったと見なすと，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのに，この奇妙な空間では，
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．
■Fig.2のステンドグラス窓の模様は，繰り返し模様の一部です．
この繰り返し模様をFig.5に再現してみました．

　　　　　　　Fig.4　　　　　　　　　　　　　Fig.5

「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型パーツ（点群10mm）を内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して（Fig.4）繰り返し模様を作ります(Fig.5）です．
この菱形格子は正6角形（正3角形）のように見えますが，
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く，歪んでいます．
正5角形や正10角形（どちらも最低でも5回対称性がある）を周期的に並べることは不可能ですから，5回対称性が全域で支配するような格子はできません．「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型パーツの対称性（10mm）は，そのパーツの内部だけを支配する（局所的）ものです．
この繰り返し模様の対称性（平面群）には，2回軸と水平および垂直に鏡映面があり，記号でいうとP2mmの対称性です．