万華鏡のまとめ

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数学月間SGK通信 ［2017.08.29］ No.182
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年の夏も，とっとりサイエンスワールド（11年目）は，鳥取県の西部，東部，中部地区と3か所で順に開催されました．
全体で3,000人規模の参加者がある県民に愛されるイベントです．
私は万華鏡で参加しており，毎年，鏡の組み合わせを変えたものを作ってきました．この日曜日は
中部会場でサイエンスワールドが行われ，1,250人の参加者がありました．私は，今戻ったばかりでこの報告を書いています．
万華鏡は，過去のブログに詳細に載せているのですが，この機会にそのエッセンスだけをまとめておきましょう．
■万華鏡の映像が私達の心をとらえるのは，空間の対称性だけではありません．
時間の流れとともに映し出される「千変万化だが一度切しか見られない」映像に生命を感じるからでもありましょう．
ワンド（試験管）の中を降りゆくガラス屑の運命は，運動方程式ですべて定まっているのですが，
時折カオスの起こる期待で目が離せません．万華鏡の魅力は，対称性（秩序）とカオス（乱れ）の混在にあります．
■合わせ鏡の不思議
合わせ鏡が生み出す完全な秩序は，無限に繰り返される「結晶世界」に入り込んだようでもあります．
平行に向かい合う2枚の合わせ鏡の間に物体を置くと，一直線上に物体の映像が繰り返し無限に並びます．
もし，合わせ鏡が平行でなくθの交差角とすると，映像は直線上でなく円周上に並びます．
円周上の反対側で両側から伸びて来た映像がぴったり重なる条件を考えましょう．1回の反射で出来る映像は裏返っていますが，2回反射を繰り返すと初めの向きに戻ります．結局，元の物体とその鏡映像のペアが繰り返すことになります．
つまり，交差角θの合わせ鏡の作る繰り返し単位の中心角は2θです．
従って，映像が円周の裏側でつながり，完全なn回回転対称ができる条件は，360°/2θ=n（整数）となり，
これは，物理学者ブリュースター興の特許(1817)に記載されています．
■今年作製している2枚鏡の万華鏡（ブリュースター型）の2枚鏡の交差角はθ＝15°です．n=360/2θ＝12ですから，その映像に，12回回転対称があることを確認してください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/86/18186486/img_0_m?1503932181

■3枚鏡の万華鏡
◆整数解の基本領域
平面をきれいに埋める万華鏡
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwNzc4ODcuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwNzgyNjQuaHRtbA--
◆分数解を許す基本領域
分数解の頂点のまわりに乱れのある万華鏡
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODAzNjYuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODA0MzkuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODA0NzUuaHRtbA--