空間のデジタル化

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数学月間SGK通信 ［2015.10.13］ No.084
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■空間のデジタル化
最近の交通信号は，発光ダイオードのドットが円盤内に配置されています．
本来，円盤内は連続平面ですが，ドットの配置で表現される円盤は，
離散化（あるいはデジタル化）されています．
デジタル化された世界では，ドットを１つ２つと数えることができます．
ドットを十分小さくすれば，ドットはいくらでもこの世界に入ります．
このような世界を，“可算無限”の世界といいます．一方，連続平面は，
点を数えることすらできない“非可算無限”の世界です．
（例）整数や有理数（分数で書ける数）は可算無限個，
　　無理数（分数では書けない数）は非可算無限個です
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/44/17032344/img_0_m?1444646310
■無限に続く繰り返し
　周期的な空間－結晶世界
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http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/44/17032344/img_2_m?1444646310
黒と白のタイルでできる市松模様が無限に広がっています．
もし，白いタイルのどれか一つの上にいたとしても，
市松模様の世界は無限に続いているのですから，
そこがいつも世界の真ん中に思えます．
つまり，どの白いタイルもすべて同価です．

この市松模様の世界の周期がわかりますか？　図には，
白いタイルから，隣の同価な白いタイルへの移動を示すベクトル（矢印）
が記入されています．
2次元の世界ですから2つの独立なベクトル a, bが基本周期になります．
白いタイルを基本周期a, bを繰り返して平行移動することを並進といいます．
（注）na+mbは，a方向にn個，b方向にm個の移動（並進）の意味です．
na+mb（整数n,m)の点（格子点）はすべて同価な点で，
これらの集合を格子といいます．
格子点の集合（格子，無限集合）は加法で閉じており
群という代数系になります（これを並進群といいます）．

上図の2つの市松模様は全く同じものですが，見渡す方向でずいぶん景色が違います．
このような性質を異方性と言います．
格子点に配置して，重ならず隙が出来ずに平面を張りつめるとき単位となる
ブロックタイル（単位胞）の形はどのようなものでしょうか？
これには色々なものを採用できますが，例えば，横並びの黒白ペアのタイル，
あるいは，a, bで囲まれた平行４辺形などがあります（上図の右側に図示）．
その面積はどちらも同じです．
無限に続く周期的な平面は，一つのブロックタイル（単位胞）で平面を張りつめる
こと（デジタル化）ができ，扱うのが簡単です．これに比べて，
周期的でない平面はアナログ平面で簡単化できません．つまり
一様な（平面のどの場所も同価であるような）デジタル化ができません．
デジタル化された信号のような円盤内も，一様でもなければ周期的でもありません．
周期的なデジタル化された空間は“結晶空間”と呼ばれ，
その性質は“格子”で抽象的に表現されます．

■繰り返し模様の観賞法
今年の数学月間懇話会(7/22)で，私は以下の話をしました：

周期的な空間(繰り返し模様)の対称性は有限図形の対称性にくらべて，
なじみのない人が多いようです．
これは，教科書で扱う対称性が有限図形だけであることによります．
しかし，周期的空間＝“結晶空間”は，最も基本的なデジタル化された空間で重要です．

デジタル画像や視細胞の配列した網膜など，自然界のほとんどが
デジタル化された平面です．特に，無限に広がる平面を，
一様で周期的にデジタル化した－“結晶空間”－は特に重要です．
結晶の内部構造は，単位となる平行6面体（単位胞）が，
空間を隙間なく埋め尽くしています．
このような例として，平面上の繰り返し模様の数学に親しみましょう．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/68/17037468/img_0_m?1444646276
数学の言葉でいうと，繰り返し模様の対称性（空間群）と
有限図形（単位胞）の対称性（点群）との関係は，
「繰り返しの規則（並進群）を核（法）として，空間群は点群に準同型」
ということになります．あるいは，
「並進群を点群で拡大して空間群が得られる」ということもできます．
準同型という概念の心は，集合のもつ特徴を見つけるのに，
集合の要素の持つある特徴を同値と見做せれば（小異に目をつぶれば），
別の特徴が顕著に見えてくるという事．
日常生活の色々な場面でこの考え方が使えます．
「小異を捨てて大同に就く」といいますが，
「小異を同値と見做すなら，別の違いが見えてくる」
そして，「別の違いがない場合は，大同に就ける」という事でしょう．

平面のデジタル化の一つに，１種類の正多角形で平面を分割すること（正則分割）
がありますが，非ユークリッド平面の正則分割タイル張りに関しても言及しました．