球面正12面体の見える万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2018.11.13］ No.241
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いろいろな多面体の見える万華鏡（立体万華鏡と仮に呼ぶことにします）を作っています．
アルミ板やプラスチックの鏡は像がきれいに映りますが
ミラー紙を用いても，ここで取り上げているような立体万華鏡は良好に作れますので．
チャレンジしてみてください．

球面正多面体は，アラブの数学者，アブル・ワーファ（1000頃）に始まります．
球面正多面体｛p,q｝は，球面正p角形が，頂点でq個集まっているもので，
球面正p角形の１つの内角は2π/qです（図D）．そして，球面p-多角形の辺はすべて大円であることに注意しましょう．
ここで例に取り上げるのは，正12面体に相当する球面正12面体＝球面｛5,3｝多面体です．

 

 

 

 

 

 

 

メビウスは多面体万華鏡を発明します（1850）が，これは，球面p-多角形を．
2p個の球面直角３角形に分割することを使います（図A）．
分割された3角形の角度は，π/p，π/q，π/2，このような直角3角形を(p,q,2)のように記述します
万華鏡は，３角形（赤く塗った）の各辺となる大円を鏡にすると得られます．
Aは，メビウス万華鏡になり，正5角形の面を10個の直角3角形に分割しています．
Bは，正5角形の面を5個の2等辺3角形に分割しています．Bには，Aに存在した鏡映対称面が１つ消えています．
Cの赤く練った正3角形の周囲の辺の大円を鏡に置き換えて万華鏡を作れば，正20面体の映像が見えます．
それぞれの映像写真は続きに

■正12面体像の見える万華鏡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

・左図は，この展開図（直角3角形ーピラミッド万華鏡）による正12面体の映像で，正5角形の面が10分割されています．

・右図は，正5角形の面の1/5が万華鏡の内部（非対称領域）にあるような万華鏡による映像です．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 次の写真は，やはり正5角形の面の1/5が万華鏡の内部（非対称領域）にあるような万華鏡ですが，
展開図に示す光の窓になる部分が円形であるため，球面正12面体の映像が見えます．

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