無限の脅威★

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数学月間SGK通信 ［2014.05.09］ No.002
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■無限大の脅威（2014年米国MAMの話題より）
今回は，奇妙な数学の話です．数式はうまく表示できているでしょうか？
■発散する級数
S=1+2+3+4+....+n+....=-1/12
正の整数すべての総和が無限大でなく-1/12であるという．正気の沙汰なのか？
このとんでもない結果は，1748年に偉大なオイラーにより導かれた．
発散する数列は悪魔の発明であり，無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．
発散する級数の研究は，アーベル（1802-1829）に端を発する．
数学者がこの悪魔の細部を解決するのに続く百年を要したのだ．
すなわち，リーマンの解析接続の理論(1859)を待ち理論的解決した．
現代では，物理学（超弦理論,量子計算）や数学（ζゼータ関数）で利用している．
リーマンは素数の分布を調べるためにζ関数に解析接続をした関数の0点を研究し，
リーマン予想を提示した(1856）．これはまだ解かれていない．
■オイラーの発見が現実に
オイラー＋リーマンの ζ関数は無限級数の形で定義される．
ζ(s)=1+2^-s+3^-s+4^-s+5^-s+....
この関数は，実部が1より大きいRe(s)>1複素平面で収束するが，
実部が1あるいは1より小さいRe(s)=<1複素平面では発散する．
そこで，全複素平面（ただし１は極）に，ζ 関数の定義域を拡張
するのに解析接続という手段が役立つ．
S=ζ(-1)=1+2+3+4+5+....
S₁=1-1+1-1+1-1+....=1 奇数項までの和
　　　　　　　　　  0 偶数項までの和
この和は，偶数項で止めれば0，奇数項まで止めれば１になる．
しかし，解析接続という理論を使うと1/2になることを以下に示す．
f(x)=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+....=1/(1-x)
この多項式は公比xの等比級数だから，|x|<1なら収束し1/(1-x)になる．
もとの多項式は|x|<1の外では発散するので定義できないが，
級数を解析接続した関数1/(1-x)に繋ぎ，形式的だが
x=-1を入れると 1/2 が得られる．
S₁=f(-1)=1-1+1-1+1-1+....=1/2
級数S₁, S₂ などを等式と見立て加減演算をし，Sを求めてみよう．
o+oなどの無限大を数値のように演算しているのが気持ち悪いが
解析接続で収束した級数を用いているので実は正しい結果になる．
S₂=1-2+3-4+5-6+.... とすると，
2S₂=1-2+3-4+5-6+....+[1-2+3-4+5-6+....]=1-1+1-1+1-1+.... =1/2
ゆえに，S₂=1/4が得られる．
S-S₂=1+2+3+4+5+6+....-[1-2+3-4+5-6+....]=
=4(1+2+3+....)=4S
ゆえに，S=-S₂/3=-1/12
■参考
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
超弦理論入門，大栗博司，ブルーバックス
リーマン予想を解こう，黒川信重，技術評論社