面積ゼロで周囲が無限大

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数学月間SGK通信 ［2015.04.28］ No.061
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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面積がゼロで，周囲が無限大のフラクタル図形

フラクタル図形というのは，図形を拡大していくと，
どんどん細部が見えてくるが，それらがいつも同じ図形なのです．
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Sierpinski_zoom.gif

そのような図形のうち，ポーランドの数学者シェルピンスキーの図形の作り方を見てみましょう．

(1)シェルピンスキーのガスケット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_2_m?1429928123

正3角形から出発します．正3角形を4分割して真ん中を通り覗きます．
残った3つの正三角形をそれぞれ4分割して，それぞれの真ん中を取り除きます．
この操作を際限なく（無限に）繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのガスケットです．
面積は0に収束し，境界の長さは無限大に発散します．

(2)シェルピンスキーのカーペット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_3_m?1429928123

正方形から出発し，9分割し真ん中の正方形を取り除きます．
残りの８つの正方形をそれぞれ9分割して，それぞれの真ん中を取り除きます．
この操作を際限なく（無限に）繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのカーペットです．
やはり，面積は0に収束し，境界の長さは無限大に発散します．

これらの図形は，1次元でも，2次元でもありません．
「長さがx倍になった領域に，現在の図形をy個詰め込む」という操作を繰り返したわけですが
　　x^d=y　（dはフラクタル次元）　より，フラクタル次元は　d＝logy/logx　です．　
フラクタル次元は，(1)ガスケット3角形では1.585･･･，(2)カーペット4角形では1.89････になります．