球の表面積（立体の表面積が影の面積の４倍になること）★★

球の表面積は，球の半径をRとすると４πR²となることは，知っていると思います．

 球の表面を円周が2πRsinθ，幅がRdθの円環に細分し，これを0≦θ≦πで積分して球の全表面積4πR²が得られます．
$$\displaystyle \int_{0}^{\pi}2\pi Rsin\theta \cdot Rd\theta =4\pi R^{2}$$

πR²は，半径Rの球を射影した影（半径Rの円）の面積ですが，球の表面積は，なぜ影の4倍になるのでしょうか．

球表面の円環を球の断面円(赤道の断面)に射影すると，円環の円周の長さ2πRsinθは変わりませんが，幅はRcosθdθになります．上半球の円環をすべて断面円内に射影すると面積πR²の円を埋めます．πR²sin2θdθを0≦θ≦π/2で積分したπR²が得られます．$$\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\pi R^{2}sin2\theta d\theta =\pi R^{2}$$
確かに，球の表面積は，自分の影の4倍であることが計算されます．

■これは，球を包むシリンダーをスクリーンにして，下図のような射影しても説明できます．

球の表面の微小な面積（緯線と経線で囲まれた矩形）を，球を包むシリンダーのスクリーンに，地軸に垂直平面に沿って射影すると，投影された矩形の縦横の比は変わりますが，面積は変わりません．このことから，半径Rの球の表面積は，幅2R，周囲2πRの長方形（シリンダーの展開図）になり，その面積は4πR²になることがわかります．

 一般に，正多面体の表面積と影面積（方位平均をとったもの）の比は4のようです．正多面体の極限としての球の場合は，表面積と影面積の比が正確に4になります．

詳しくは3Blue1Brownをご覧ください．　https://youtu.be/GNcFjFmqEc8