エッシャーの双曲面分割

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数学月間SGK通信 ［2015.02.17］ No.051
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前号に引き続き双曲面分割の話です．

■エッシャーの「極限としての円」のシリーズが生まれるまで

コクセターとエッシャーは1951年の国際数学会で出会いました．
1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文をエッシャーに送り，
これがエッシャーの「極限としての円」の作品群を生むことになります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/08/16506608/img_0_m?1423875894

エッシャーの双曲面分割作品のシリーズ１は直線魚のモチーフでした，
天使と悪魔など，このシリーズの作品群があります．
そして，シリーズ3の洗練された作品に至り完成します．

■次に示すのは，エッシャーの作品「極限としての円3」です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/08/16506608/img_1_m?1423875894

白い線で分割されたタイル張りは，複数の正多角形による準正則タイル張り
[4,3,4,3,4,3]のように思うかもしれません．
しかし，白い線は直線ではないのです．白い線は，双曲世界のフチの円周と
直交しません（80°で交わる）．実は，右図に示される黒い線が直線です．
右図のように正8角形のタイルが頂点で３つづつ集まる正則分割{8,3}と
見るのが正しいのです．エッシャーの作品は，黒い線は顕に出さずに
白い線を見せて見事に数学的に正確で芸術的な作品に仕上げています．
このエッシャーのトリックについては，コクセターが論文で指摘しています．