17種類の平面群

壁紙模様の対称性は17種類の平面群に分類されます.17種類の平面群の表を説明に先立ち掲載しておきます.
この表には,国際記号とロシア式記号の2通りの平面群の記述法を併記したので比較できます.今日,国際記号が一辺倒に普及していますが,群の生成元が明示されるロシア式記号は,理論的視点では特に重要です.
両方の記号の仕組みを理解するのが,この節の目標です.

ここに表示される平行四辺形は2次元の単位胞で,水平方向の軸は$$b$$,上下方向の成分をもつ軸は$$a$$(3次元の場合;紙面に垂直な軸は$$c$$)とします.