第3回：結晶空間群

■第3回：結晶空間群（2017.12.12）

このシリーズのメインテーマです．結晶空間群Φは，並進群Tを点群Gで拡大して得られます．
逆の言い方をすると，並進群Tは空間群Φの中で正規部分群なので，Tを核とする準同型写像で，空間群Φは点群Gに準同型Φ/Γ=G になります．並進群Tと点群Gとによる拡大の仕方は，(1)点群Gも空間群Φの正規部分群である場合には“直積”，(2)点群Gが非正規部分群である場合は“半直積”です．また，(3)以下に述べる拡張した点群Gとの積の場合は“条件積”と呼ばれます．
空間群の中に現れる点群Gは純粋な点群だけでなく拡張できます．点群Gの中の位数nの演算gはn回繰り返すと gⁿ=1ですが，空間群の中では格子分だけ移動しも同値ですから，(gα)ⁿ=1(modT)と拡張できます．つまり拡張された点群には，”映進”や ”らせん軸（3次元の場合）”演算があります．演算gαを含む拡張された点群Gで拡大して得た空間群はnon-symmorphic非共型，純粋な点群Gで拡大して得た空間群はsymmorphic共型と言います．3次元の結晶空間群230種のうち157種，2次元の壁紙模様17種のうち４種がnon-symmorphicです． 

◆平面群の作り方（図）

点群G=2mmと,単純長方形格子T=orthoPから,平面群P2mm.P2gm,P2ggの3つが生じます.

映進gは2回続けると1格子分の移動になるg²＝1（modT）ので，格子点はすべて同値という見方をすると平面群 P2mm，P2gm，P2ggは,点群2mmに準同型に還元されます．