システム管理者
まぐまぐに投稿したメルマガ（html版）のリメイクです．
数式はうまく表示できているでしょうか？
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数学月間SGK通信 ［2014.05.09］ No.002
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■無限の脅威（2014年米国MAMよりhttp://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html）
今回は，奇妙な数学の話です．
■発散する級数
$$ S=1+2+3+4+....+n+....=-1/12 $$
正の整数すべての総和が無限大でなく-1/12であるという．正気の沙汰なのか？
このとんでもない結果は，1748年に偉大なオイラーにより導かれた．
発散する数列は悪魔の発明であり，無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．
発散する級数の研究は，アーベル（1802-1829）に端を発する．
数学者がこの悪魔の細部を解決するのに続く百年を要したのだ．
すなわち，リーマンの解析接続の理論(1859)を待ち理論的解決した．
現代では，物理学（超弦理論,量子計算）や数学（ζゼータ関数）で利用している．
リーマンは素数の分布を調べるためにζ関数に解析接続をした関数の0点を研究し，
リーマン予想を提示した(1856）．これはまだ解かれていない．
■オイラーの発見が現実に
オイラー＋リーマンの ζ関数は無限級数の形で定義される．
$$ ζ(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+5^{-s}+.... $$
この関数は，実部が1より大きいRe(s)>1複素平面で収束するが，
実部が1あるいは1より小さいRe(s)=<1複素平面では発散する．
そこで，全複素平面（ただし１は極）に，ζ 関数の定義域を拡張
するのに解析接続という手段が役立つ．
$$ S=ζ(-1)=1+2+3+4+5+.... $$
$$S_{1}=1-1+1-1+1-1+....=1 $$(奇数項までの和), $$=0 $$(偶数項までの和)
この和は，偶数項で止めれば0，奇数項まで止めれば１になる．
しかし，解析接続という理論を使うと1/2になることを以下に示す．
$$f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....=1/(1-x) $$
この多項式は公比$$x$$の等比級数だから，$$|x|<1$$なら収束し$$1/(1-x)$$になる．
もとの多項式は$$|x|<1$$の外では発散するので定義できないが，
級数を解析接続した関数$$1/(1-x)$$に繋ぎ，形式的だが
$$x=-1$$を入れると 1/2 が得られる．
$$S_1=f(-1)=1-1+1-1+1-1+....=1/2$$
級数$$S_1, S_2$$ などを等式と見立て加減演算をし，$$S$$を求めてみよう．
$$∞+∞$$などの無限大を数値のように演算しているのが気持ち悪いが
解析接続で収束した級数を用いているので実は正しい結果になる．
$$S_2=1-2+3-4+5-6+.... $$とすると，
$$2S_2=1-2+3-4+5-6+....+[1-2+3-4+5-6+....]=1-1+1-1+1-1+.... =1/2$$
ゆえに，$$S_2=1/4$$が得られる．
$$S-S_2=1+2+3+4+5+6+....-[1-2+3-4+5-6+....]=4(1+2+3+....)=4S$$
であるから，$$S=-S_2/3=-1/12$$ が得られる．
■参考
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
超弦理論入門，大栗博司，ブルーバックス
リーマン予想を解こう，黒川信重，技術評論社