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И. Акулич，«Квант» №2, 2012 に２の累乗の大きな数を求める問題があります．
（問題）
$$S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{63}$$
$$S$$の値を計算しなさい．
$$2 S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{64}$$
$$2S-S＝S=2^{64}-1$$
計算機を使えば，$$2^{64}-1=18446 744 073 709551615$$ と計算できるでしょう．
計算機が無くても，許容できる精度でおおよその答えを見つけることができます。原則として、日常生活では（そしてほとんどの自然科学では）2～3%の誤差が許容されます．
$$2^{64}$$をどのように概算したらよいかという問題です．
$$2^4 = 16$$，$$2^{10} = 1024≒1000=10^3$$ だから，
$$2^{64}＝2^4・(2^{10})^6≒16・(10^3)^6$$
しかし，この誤差はかなり大きい．結局，1024を1000に置き換えること続けて6回．
このため，1.024倍の誤差の6乗$$1.024^6$$の誤差になります．
1よりも何倍も小さい数xについては、次の近似式を使うと精度が高い．
$$(1 + x)^n ≒ 1 +n･x$$ これを使うと，
$$(1+0.024)^6≒1+6×0.024＝1.144$$
従って，$$2^{64}≒16･10^{18}･1.144=18304･10^{18}$$ と補正します．その結果，
$$S≒2^{64}≒18,304,000,000,000,000,000,000$$となり（18304の後ろに0が18個），
これは正解と1%未満の誤差になります．
■注
１．数字を2のべき乗の和で表すのは，数字を2進数で表すときに必要になります．
たとえば，$$2^{10}+2^9+2^8+2^7＋2^6＋2^4＋2^3+2^2＝2042$$， 2進数で表記すると$$11111011100$$
２．この問題の最初の式は，次の一般式の$$m=64$$の場合になります．
$$2^m = (2^{m–1} + 2^{m–2} + ... + 2^0) + 1$$
３．次の性質も役に立ちます：
$$10^{10}＝(2･5)^{10}＝2^{10}・5^{10}$$
$$2^{10}>10^3$$， $$5^{10}<10^7$$
