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このエッセイは，2020年3月30日にマリアンヌによってプラスマガジンに提出されたものの翻訳（by KT）です．
How can maths fight a pandemic? By Marianne Freiberger ，https://plus.maths.org/content/
■ケンブリッジ大学の疫学者であるジュリア・ゴグは，「人生は長期間同じように過ごすことが許されない」と語った．ゴグ自身の人生は2月の初めに突然変化した．彼女は数理科学センターの通常の職務を辞し，緊急事態のための科学諮問グループ（SAGE）に結果を供給するモデリンググループであるSPI-Mに専念することになった．
SPI-Mは，インフルエンザパンデミックへ備えて活動をしてきたが，現在はCOVID-19のパンデミックに焦点を当て活動が引き継がれている．ゴグは，王立協会が率いる全国コンソーシアムの運営委員会にも所属し，パンデミックに対処している．
SPI-Mの仕事は，次に何が起こり，さまざまな介入でそれがどのように変化するかを予測するのに役立つ数理モデルを開発し使用することだ．COVID-19パンデミックがどのように進展し，我々の生活している社会の介入はどのような影響を与えるのか．これらのモデルは何か，それらは正しいか？
モデル
COVID-19パンデミックの報道については、こちらをご覧ください：https://plus.maths.org/content/tags/covid-19
諸君は意識しないで，数理モデリングを使っている可能性は十分にあります．COVID-19の感染数が3日ごとに2倍になると聞いて，きっと予測計算をしたことでしょう．今日$$ x $$件があり，この傾向が続くと，
3日間で$$ 2x $$件，6日間で$$ 4x $$件，9日間で$$ 8x $$件，一般的に，3 $$ n $$日で$$ 2 ^ nx $$．
このように急増加して今回の災害に至りました．
この外挿は単純ですがモデルの基本的な要素，時間の経過とともに起こる変化の一般的な性質を表す数式と，変化の正確な形状を特定するパラメーターがわかります．
この例では，時間の経過とともに指数関数的に増加し，この増加の急峻さは2倍に増加する時間パラメーター（3日間）で決まっています．
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SIRモデル
$$ S $$を感染しやすい人の数，$$ I $$を感染した人の数，$$ R $$を回復した人の数とする．
SIRモデルの方程式は次のとおりです。
$$ \displaystyle \frac {dS} {dt} $$ $$ \displaystyle = $$ $$ \displaystyle-\beta SI $$
$$ \displaystyle \frac {dI} {dt} $$ $$ \displaystyle = $$ $$ \displaystyle \beta SI-\nu I $$
$$ \displaystyle \frac {dR} {dt} $$ $$ \displaystyle = $$ $$\displaystyle \nu I $$
ここで、$$ \beta $$は感染速度で，$$ \nu $$は回復速度， $$ d / dt $$という表現は，時間の経過に伴う変化率を表すため，$$ dS / dt $$は時間の経過に伴う感受性の数の変化率の意味．
数値$$ R_0 = \beta / \nu N, $$（$$ N $$は母集団のサイズ）は、疾患の基本的な複製数と呼ばれる．
SIRモデルの詳細については，この記事https://plus.maths.org/content/mathematics-diseasesをご覧ください．
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長期の予測や介入の影響を詳細にシミュレートするには，さらに洗練されたモデルが必要です．短期予測，長期予測，学校閉鎖など特定の介入効果のシミュレーション，さまざまな目的のためにさまざまなモデルが設計されています．モデルが異なっても，それらのモデルは1910年代以降のアプローチであるSIRモデルに基づいて構築される傾向があります．
SIRモデルの背景となる考え方の理解には，すべての人を，病気にかかりやすい（S），感染している（I），回復し免疫がある（R）のどれかの集団に属するとします．人が，SクラスからIクラスに，IクラスからRクラスに，進む方法を数式によって記述します． これらの方程式は，病気の感染率と回復率にも依存します． Iクラスの人口が少ないモデルから開始し，時間の経過とともにモデルを進化させて，病気がどのように広がり，人々が回復して免疫力を得て治まるかが見られます．
単純なSIRモデルは，寄宿学校の生徒などの単純な母集団に対して適切な予測を提供します． より複雑な母集団に関しては，さまざまな地理的場所やサブ母集団を表す個々のSIRモデル（個々の町や学校など）を繋ぎ合わせます．
接触がカギ
背景で非常に重要なのは人の接触パターンです：誰が誰にどのくらい会ったか．これに関する情報は，社会混合研究から得られます．例えば，BBCとGogチームのコラボレーションとして2018年に実行された大規模な市民科学プロジェクトがあります．人々は彼らの動きを追跡するアプリをダウンロードし，彼らに出会った人々（すべて適切に匿名化されている）を追跡するように求められます．このような接触データは，モデルに組み込まれている数値の配列（ 行列 ）（下図を参照）によって数学的に表されます．
異なる年齢グループ間の平均的な接触を表示する接触マトリックス．濃い色はより多くの接触を示します（ここでは，マトリックスを理解しやすくするために，数値ではなく色が使用されています）．図は論文
Contagion! The BBC Four Pandemic – The model behind the documentaryから許可を得て使用．
学校閉鎖などの特定の社会的介入が，病気蔓延にどのように影響するかを確認するには，介入に関連する部分を削除または縮小して，接触データを適宜調整してみます．
ただし，「学校要因を完全オフに切り替えるのは現実的とはいえません．子供たちがまだ学校に通っているので減じるだけです」とGog氏は言います．「そして明確なガイダンスがない場合，学校外の子供たちは他の方法などや，祖父母と混ざってしまう可能性があります．これは，考慮に入れるべき追加の接触が発生していることを意味します．それらの範囲での推測になります」． 教師のストライキ中に何が起こったかに関する情報などの既存のデータは，接触データを補正し介入による流行への影響を予測するのに役立ちます．簡単に言うと，これが疫学モデリングの仕組みです．
だが，モデルは正しいか？
英国，ヨーロッパ，さらには世界全体を表すように設計された壮大なモデルは1つだけではありません．代わりに，さまざまなことを実行するように設計された多くの異なるモデルがあり，SIRモデルのコンパートメントアプローチは支配的なパラダイムですが，モデルの性質は依然として異なる可能性があります．完全に確定的なものもあれば，ある程度のランダム性を含むものもあれば，特定の要因の役割を示すために1回だけ実行されるように設計されているものや，不確実性に直面して予測の範囲を取得するために何度も実行されるものもあります．
大きな問題は，モデルが現実的であるかどうかです． 1つには，COVID-19が新しい病気で，既存モデルは季節性インフルエンザのために開発されたものなのです．「私たちのモデルは，みなインフルエンザから始まったもので，コロナパンデミックモデルは誰も作っていませんでした」とGog氏．COVID-19とインフルエンザのためとでは構築した典型的モデルで何が違うのかを調べなければなりません．
パンデミックのダイナミクスはインフルエンザとコロナウイルスで似ていますが，違いもあります．1つは，COVID-19にはかなりの潜伏期があるということです．人は何の症状も示さずに感染する可能性があります．「インフルエンザの場合は数時間かかるかもしれませんが，このコロナウイルスの場合は数日かかる可能性があります」モデルは，SEIRモデルを用いることを意味します．E「露出」が追加されます．このクラスの人々は感染していますが，まだ症状はありません．Eクラスは，人に感染させる人と感染させない人にさらに分けることができます．すべてのモデルは近似であり，「インフルエンザの場合，目的によってはSIRを回避できることがよくあります．ただし，このウイルスの場合，潜伏期間を無視すると，近似が非常に悪くなる．特に，短期予測のときは，これを考慮する必要があります」とGog氏は語った．
これは，単純SIRモデルによる典型的な結果で，感染しやすい（可能性がある）人の数は青，感染した人の数は緑，回復した人の数は赤で表示されます．
COVID-19について私たちが知らないことが他にもたくさんあります．「1日目や2日目の感染力など詳細はわかりません」．「不完全なデータからそれを推測することは非常に困難ですが，現在，中国や他の国からのデータがいくつかあり，クルーズ船からのデータも非常に興味深い．限られた情報から推測するために最善を尽くしています」 十分な情報がない場合，モデラーは不確実性を取り除くために何が最も重要な未知数か決定します—これがモデリングで非常重要なことです．
1つのパラメーターの重要性は，実行しようとしていることに厳密に依存する場合があります．「明日何件の発病があるかを予測するためには，多くのことを知る必要はありません．現時点では指数関数的です」．「しかし，第2波が発生するかどうかを予測するには，非常に異なるいくつかのことを知る必要があります」
長期予測の重要な数値は，疾患の基本的な再生産数です（多くの場合，$$ R_0 $$と表示される）．人口の全員が疾患感受性がある（かかる可能性がある）と仮定すると，感染者が平均して感染させる人の数（それは 伝送速度に関連する，上記の枠記事を参照）．COVID-19の場合，これは2から2.5の間にあると推定されます．モデラーは，可能な値の範囲ごとにモデルを実行し，対応する予測の範囲を考えます．
感染したが病気ではない
現在，多くの疫学者に必要なもう1つの重要な数は，集団内での感染の真の症例数で，これには，病気にかかったが症状を示さなかった人々の症例数が含まれます．「無症候性の数は，私が現時点で睡れなくなる数です．これを知ることは，私たちの出口戦略にとって非常に重要です」とGog氏は言います．
現在の指数関数的成長を減らすことができるものが基本的に2つあります．「1つ目は，学校の閉鎖や身体的な距離などの介入により接触率が変化することです」とGog氏は述べます．「指数関数的プロセスを変える2番目のことは，感受性の枯渇です」 病気になったことでしばらくの間免疫があり，無症候性を含む真の症例数を知ることで，感受性の高い人々のクラスがどれほど速く小さくなるかがわかります．議論されている集団の免疫のメカニズムは，感受性の数が減少するにつれて，病気の指数関数的成長が平らになり，その後指数関数的減衰になることを意味します．
幸いなことに，無症候性に関するデータを知ることに関しては望みがあります． 人が病気にかかっているかどうかを知ることのできる抗体検査をしていますが，これらの最初の波は当然NHSスタッフにのみ公開されます．
しかし、不完全な情報があったとしても，モデリングの予測は，特に不確実性の範囲を考慮して提示する場合，暗闇の中で突き刺すだけではありません．優れたモデルは，私たちが持っているすべての関連情報で構成されています．優れたモデラーは，モデルの制限とモデル内の不確実性を注意深く追跡します．多くの場合，可能なパラメーター値の範囲を含み，予測の範囲につながります．これは，さまざまな介入戦略の下で発生する可能性のある将来のシナリオの範囲です．予測は完璧ではありませんが，私たちが持っている情報を使用して実行できる最善の予測です．
では何が起こるのでしょうか？
誰も何が起こるか正確に言うことはできません．地平線に見える大きな望みはワクチンの到着です．これは，群れの免疫を構築するためのもう1つの手段であり，最も脆弱な人を優先的に保護するオプションを備えています．問題は，最小限のダメージでどのように自分自身をそのポイントに到達させるかです．
誰もが同意することの1つは，これには長期的な犠牲が伴うということです．「1週間だけシャットダウンして，この状況がなくなることを期待することはできません」とGog氏は言います．「それはまだここにあり（社会的距離の措置が早すぎる場合），集団の免疫はありません．現時点では，ヘルスケアシステムが容量を超えないようにするためにシャットダウンせざるを得ません．しかし，これは恒久的な戦略ではないことは十分に認識しています」
先週 ，Gogの元博士課程の学生であるスティーブンキッスラーとハーバード大学の同僚によって発行された論文では，季節変動も考慮して，再発の問題について詳細に検討しました．呼吸器疾患の発生は，秋と冬に悪化する傾向があります．季節性インフルエンザの発生と同時に，ヘルスケアシステムにさらに大きな負担をかけます．キスラーと彼のチームは，そのような季節変動を反映する要因を含むSEIRモデルを使用しました．社会的距離測定の効果は，COVID-19の基本的な生殖数が最大60％減少することでモデルに反映され，中国で観察されたものと同等です．
この最新の研究の結論は，必ずしも明るいものではありません．社会的距離の1期間では、救急医療能力が圧倒されるのを防ぐのに十分ではありません（調査では，英国ではなく米国の救急医療能力を調べましたが，英国でも同様の結果が当てはまります）．「［この調査によると］シリアルロックダウンの期間を検討しています」とGog氏は言います．「批判的なケアが始まろうとしているときにロックダウンするという考えです．しかし，英国で起こっていることは，NHSが規定を拡大しているため，ロックダウンがより短く，それほど深刻ではなく，あまり頻繁ではないことです」
これらの社会的距離の断続的な期間がどれだけ長く，頻繁に異なる仮定（米国の数値に基づく）になる可能性が高いかを，論文から抜粋した以下の図に示します．
これらのグラフは，断続的な社会的距離（青色の領域）の下でのウイルスの有病率（黒い曲線）と重大なケース（赤い曲線）を示しています．最初と3番目のグラフには，季節的な強制がありません．2番目と4番目の季節の強制．クリティカルケア能力は、水平の黒い実線で示されます．最初の2つのグラフは現在の米国の救急医療能力のあるシナリオであり，3番目と4番目のグラフは現在の救急医療能力の2倍のシナリオです．基本再生数の最大値は冬期は2であり，季節的なシナリオでは夏期は1.4です．この図は，キスラーらによるCOVID-19の流行を抑制するための社会的距離戦略の論文からのものです．許可を得て使用．
悲観的状況ですが，希望の光がいくつかあります．1つは，COVID-19の重症例に対する投薬とより良い治療プロトコルが，ある時点で到来する可能性です．これは，人々が短期間で病気にならないことを意味し，NHSへの圧力を軽減します．社会的距離を縮める措置の深刻さの多くは，NHSが崩壊しないようにする必要があるため，深刻な病気の人々を効果的にケアすることができ，短期間の過酷な措置が少なくなる可能性もあります．
もう1つの希望の光は，軽度で無症候性の感染者の未知な総数です．これがモデルで想定されているよりもはるかに高いければ，より多くの人々が病気になり免疫力があれば，上記の図が示唆するほど見通しは悪くありません．私たちはこれが事実であることを期待し，それがわかるまでは，ルールを守って家にいるだけです．
この記事について
Julia Gogはケンブリッジ大学の数理生物学の教授です．彼女は，その結果を緊急事態用科学諮問グループ （SAGE）にフィードするモデリンググループSPI-Mのメンバーです．彼女は王立協会が率いる全国コンソーシアムの運営委員会のメンバーでもあり，COVID-19パンデミックに対処しています．
プラスマガジンの編集者，マリアンヌフライバーガーは，2020年3月24日にGogにインタビューしました．