結晶空間群

結晶空間は周期的な世界です．周期的な空間を，対称性で分類すると，3次元では230種類の空間群になります．2次元では壁紙群とも呼ばれ17種類です．

注）群というのは，
集合の元elementの間に演算が定義されて，任意の2元間で演算を繰り返して生じる元も集合に属する集合で，
（有限集合の場合も無限集合の場合もあります）

群の演算定義を満たす代数系のことです．

例えば，2次元の周期は，2つの独立なベクトル$$a,b$$を与えて，$$na+mb$$（格子点の集合）で表現できます．ただし，$$n,m$$は整数．格子点の集合の対称性は並進群で記述されます．格子点は，無限可算個ですから，並進群は無限群です．

結晶点群は32個ですが，この中の単純群は1,2,3,4(mod2),-1,mで，1は例外,3以外は位数2です．

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