システム管理者
こうして、3千年ぶりに、数学者は彼らの分野の最も深い基礎を研究することに近づきました。そして、奇妙な構図が浮かび上がりました。数字ファンは、計算を行うルールを明確に記述することを学び、パラドックスによって生じる疑念を排除するために、使われた根拠の「正当性」を証明すれば済みました。そして1920年代の前半までに優れた研究学派を形成した偉大なヒルベルトは、一連の論文で数学の基礎の研究計画（後に「ゲッティンゲンプログラム」の名前が付けられた）を講演しました。最も単純化された形式で、それは次のように表すことができます。数学は、特定の公理体系から導き出された一連の結果として表すことができ、次のことを証明できます。
１．数学は完全です。すなわち、いかなる数学的な記述も、その分野自体の規則に基づいて証明または反証することができます。
２．数学は一貫しています。受け入れられている推論の規則に違反せずに、いかなる命題も証明すると同時に反駁することは不可能です。
３．数学は決定可能です。つまり、ルールを使用して、それが証明可能であるか反駁可能であるかどうか、任意の数学命題について調べることができます。
実際、ヒルベルトのプログラムは、すべての数学的な質問に答えるための、または少なくともそのような存在を証明するためのいくつかの一般的な手順を開発しようとしました。科学者自身は、彼が作成した3つの質問すべてに対して肯定的な答えを確信していました。彼の意見では、数学は確かに完全で、一貫性があり、解決可能でした。残ったことはそれを証明するだけでした。
さらに、ヒルベルトは、公理的方法が数学だけでなく、科学一般の基礎にもなり得ると信じていました。1930年に、彼の記事「自然と論理の認識」で、彼は次のように書いています。
科学のさらなる発展のために、ヒルベルトと彼の学派は成功したでしょうか？彼が信じていたように、すべての数学（および科学全体）が公理のシステムに還元された場合、一般的な論理規則に従ったプログラムに従って、元の命題から次の命題を実証する（つまり、定理を証明する）ことがコンピューターでできます。
ヒルベルトの理論が実現されれば、24時間稼働するスーパーコンピューターは、ますます多くの新しい定理を継続的に証明し、World WideWeb上の無数のサイトに投稿します。数学に続いて、「公理の時代」は物理学、化学、生物学に広がり、そして最後に、人間の意識の科学に変わります。私たちの周りの世界、そして私たち自身は、そのような場合には多少異なって見えるでしょう。
しかし、「普遍的な公理化」は行われませんでした。世界の数学者が数十年にわたって取り組んできた、非常に野心的で壮大なプログラム全体が、単一の定理によって反駁されました。それは、当時わずか25歳のKurt Gödelゲーデルによってでした。
1930年、ケーニヒスベルクのウィーンサークルが主催した会議で、彼は”論理計算の完全性”に関する発表をし、翌年の初めに、”Principia Mathematica と関連システムの根本的な困難”に関する論文を発表しました。彼の仕事の中心は、数学のさらなる発展において基本的な役割を果たす定理の定式化と証明でしたが、不完全さについてのゲーデルの有名な定理は、「どのような一貫した公理システムであっても、受け入れられた公理系内で、証明または反証することができない命題が存在する」と述べています。このように、ゲーデルはヒルベルトの最初の命題に否定的な反応を示しました。 興味深いことに、ヴェルナー・ハイゼンベルグは同じ会議で「因果関係の知識と量子力学」について講演しました。このレポートで、”不確定性原理”の最初のアプローチが提示されました。
■ゲーデルの定理
それから四半世紀が経過しましたが、ゲーデルが何を証明したかについての議論は続いています。特に熱狂的な議論が疑似科学界で起こっています。「ゲーデルの不完全性定理は本当にユニークです。神々の存在から理由の欠如まで、"世界のすべて"を証明したいときはいつでも言及されます」と、優れた現代数学者V.A.Uspenskyは書いています。
多くの推測はさておき、科学者はゲーデルの評価で二分されました。ラッセルに続いて、現代の数学論理の基礎となるこの有名な定理は、この分野以外の研究にほとんど影響を与えないと信じる人もいます。
数学者は、「ゲーデル以前」の時代に、彼らの定理を証明していたように、今日も証明をしています。
新しい定理を絶えず証明し続けるコンピューターの幻想に関しては、そのような活動の意味に多くの専門家から、大きな疑問が投げかけられています。確かに、数学にとって、証明された定理の定式化だけでなく、その理解も重要です。これにより、さまざまなオブジェクト間の接続を識別し、どの方向に進むことができるかを理解できるからです。そのような理解がなければ、形式化された推論ルールに基づいて生成された定理は、一種の「数学的なスパム」にすぎません。これは、モスクワ州立大学の数学論理および機械と数学のアルゴリズム理論部門のメンバーであるアレクサンドル・ シェニの意見です。
ゲーデル自身も同様の方法で推論しました。数学の基礎の完全性を破壊したとして彼を非難した人々に、彼は、「実際には何も変わっておらず基礎は揺るぎないままで、彼の定理は論理の鉄の法則に支配される科学分野で、直感と個人的なイニシアチブの役割の再評価につながっただけ」と答えました。これには何かメリットがあるというわけではありません。
ゲーデルとアインシュタイン（写真：「科学の世界で」）