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何世紀も前に、数学者は整数の特性と整数間の関係を研究はじめました。 現在、数論として知られている数学の分野である数の研究は、最も古い数学分野の1つです。それは深く魅力的な問題に満ちた豊かな歴史を持っており、その多くは何世紀もたっても未解決のままです。
そのような問の1つに、完全数があります。 完全数とは、その約数の合計に等しい整数です。たとえば、$$ 6 $$は$$ 2,3 $$と$$ 1 $$で割り切れ、合計$$ 1 + 2 + 3 = 6$$にも等しくなります。同様に$$ 28 $$ は，$$ 1,2,4,7 $$と$$ 14 $$で割り切れ、$$ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$$と等しくなります。その神秘さで、完全数は数学者も非数学者も同じように魅了します。
完全数とユークリッド
完全数の物語は、2300年以上前に、これまでに発行された最も影響力のある数学的著作の1つである”Elements“原論で始まりました。ギリシャの数学者ユークリッドは、紀元前300年頃に生まれ、プトレマイオス1世の統治下でアレクサンドリアの教師として完全数の研究をしました。
ユークリッドは幾何学だけと思われがちですが、実際は数学の多くの分野を研究しており、数論も彼の研究分野のうちです。原論の第9章の最終命題で、ユークリッドは次の命題を証明しました。
例で説明しましょう。数値$$ 1 $$（ユニット）から始めて、後続の数値に$$ 2 $$を掛けて、数値のシーケンス$$ 1、2、4、8、16 $$を取得します。これらの数を足し合わせると、素数$$ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 $$に到達します（素数は、それ自体と$$ 1 $$だけで割り切れる数です）。ユークリッドの結果は、合計$$ 31 $$にシーケンスの最後の数$$ 16 $$を掛けた値が完全数であると述べています。つまり、$$ 31×16 = 496 $$が完全数です。
確かに：$$ 496 $$の約数は$$ 248、124、62、31、16、8、4、2 $$および$$ 1 $$です。
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$$
実際、$$ 496 $$は$$ 6 $$と$$ 28 $$に続く3番目の完全数です。
ユークリッドの驚くべき結果は、新しい完全数を発見する確実な方法を提供し、後続の数学者の世代に影響を与えました。ただし、問題点はあります。最後に完全数を得るには、合計の結果（この例では$$ 31 $$）は素数でなければなりません。しかし、これは常に当てはまるわけではなく、それをチェックするにはかなりの量の計算が必要です。今日でも、数学者は新しい素数を特定する方法を模索しています。
完全数とニチョマコス
私たちの物語の次の主要なプレーヤーは、Nichomachusです。ギリシャのもう1人の哲学者であるニチョマコスは西暦150年頃の人で、有名なピタゴラスによって始められた思想学校の主要メンバーでした。ユークリッドとは異なり、ニチョマコスは彼の結果の証明提供をせず、彼らの真実を主張しました。
したがって、彼の完全数への影響は、命題ではなく、むしろ彼の作品「算術入門」で提示した数の分類ー過剰数、不足数、完全数ーにあります。
ニチョマコスによると、不足数$$ n $$は、約数の合計が$$ n $$に満たないもので、過剰数$$ n $$は、約数の合計が$$ n $$を越すものであり、前述のとおり —完全数$$ n $$には、合計が正確に$$ n $$となる約数があります。 当然、すべての数はこれらの3つのカテゴリのいずれかに分類されます。
ニチョマコスは、このように数字を分類しただけでなく、不足数も過剰数も完全数よりも質が低いと主張しました。
多すぎる場合、過剰、過多、誇張、虐待が発生します。少なすぎる場合は、欲求不満、デフォルト、困窮、不足が生じます。そして、等しい場合、美徳、公正、妥当性、美しさ、そしてそのようなものを生み出します。
実際、その後の思想家はしばしばニチョマコスの分類に従い、完全数を特定の神の質を持つものとして扱いました。たとえば、4世紀の神学者聖アウグスティヌスは、神の都で次のように書いています。「6はそれ自体が完全な数であり、神がすべての物を6日間で作成したからではなく、その逆です。数が完璧だからだ」
別の例として、10世紀のドイツの詩人であるHrotsvitは、完全数を「主要な数」と呼び、彼女の劇「サピエンティア」の最初の4つ、つまり$$ 6、28、496、$$および$$ 8128 $$について論じています。したがって、ニチョマコスは、独自の方法で今日でも続く完全数を神格化するという伝統が生まれました。
完全数とイブン・アル・ハイサム
ユークリッドの死後1200年以上の間、私たちは中東を旅し、完全な数に関する別の結果を得ました。ペルシャの数学者イブン･アル･ハイサムは、物理学や光学から数論や幾何学に至るまで、さまざまな分野を研究していました。特に、彼は数学的な方法の事例研究としてユークリッドの要素を熱心に研究しました。
完全数に関する限り、イブン･アル･ヘイサムはユークリッドの命題の逆も真実であると最初に示唆したようです：完全数を生成するためのユークリッドのプロセスは、実際にはすべての完全数を生成し、完全数はすべて偶数です（このシリーズの次の記事を参照してください）。イブン・アル・ヘイサムはこの結果を完全に証明することはできませんでしたが、完全数の完全な特徴付けを試みた最初の数学者でした。その後の多くの数学者たちは、イブン・アル・ヘイサムの研究を模倣しようとして、さらなる進歩を期待したが、完全な特性が明らかになるまでさらに700年待たなければならなかった。
完全数とオイラー
レオンハルト・オイラー、1707年から1783年。 ヨハン・ゲオルク・ブラッカーの肖像。
1707年に生まれたレオンハルト・オイラーは、今まで生きてきた中で最も多作な数学者の一人です。 実際、数学のほとんどすべての分野で彼の名前が付けられており、数論も例外ではありません。オイラーは、完全数を生成するためのユークリッドのアルゴリズムが実際にすべての偶数を生成することを証明しました。
そのため、完全数は、ユークリッドによって導入された形式の素数と正確に1対1で対応しています。 さらに、オイラーは8番目の完全数を特定しました— この200年で発見された最初の新しい完全数です。
$$（2^30）(2^31－１)＝2305843008139952128$$
完全数の発見の間に経過した長い期間を考えると、一部の数学者は、これ以上は発見されないと自信がなくなりました。 確かに、ピーター・バーロウは、数論の初歩的な調査で、「オイラーの完全数」は現在知られている最大の完全数で、おそらくこれまでに発見された中で最も大きい数と言った。 というのも、役に立たないだけの完全数を、さらに探す可能性は低いからです。しかし、ピーター・バーロウは18歳で亡くなり（9番目の完全数が発見される21年前）ました。 数論の進歩と新しいテクノロジーの時代は、想像を絶するほど大きな完全な数を特定することが現実的に可能性となりました。
今日の完全数
早送りし今日に戻りました。これまでに51の完全数が発見されました。 最大の数字は49,724,095桁です（すべてのリストはここ）。 さらに印象的なのは、ちょうど1年前に発見された50番目の完全数よりも300万桁以上多いことです。 この進歩は、図1と2に示されている現象である数学とコンピュータサイエンスの強力なパートナーシップの結果です。
もちろん、完全な数値を計算することは、それらについての事実を証明することとはまったく異なります。 ほぼ毎年新しい完全数も発見されていますが、多くの疑問でさらに研究が必要です。
奇数または偶数のすべての完全数を共有する共通の特性は何ですか？
完全数は無限にありますか？
奇妙な完全数はありますか？
数え切れないほどの数学者が、発見的な議論や専門的な事例のいずれかを用いて、これらの問に迫っています。 しかし、一般的な答えはとらえどころのないままです。 次の2つの記事「完全に偶数」と「完全に奇数」では、これらの質問に対する実質的な結果を要約し、解明し、結び付けて、おそらく最も奇妙な完全の定義に数学者と非数学者を同様に引き付けるという最終目標を掲げています。
［plus magazineより． submitted by Marianne on February 5, 2020］