システム管理者
YouTubeにある動画について．たいへん興味を引く動画なので，ぜひご覧ください．この動画の発信元3Blue1Brownは，Grant Sandersonが作ったYouTubeのチャンネルで，なかなかよくできた可視化された数学入門です．
動画は，物体mは静止しており，物体Mは初速度v0で摩擦のない台上を滑る所から始まります．
Mやmはそれぞれの物体の質量（M>m）で，左側は壁です．
衝突はすべて弾性衝突とすると，エネルギー保存（１）と運動量保存（２）が成り立ちます．
（１）は楕円の式ですが
の変数変換をすれば，新しい変数$$v_{3}$$を採用した$$v_{1}，v_{3}$$平面では半径$$v_{0}$$の円になります．
（２）は，2つの物体m,Mが衝突したとき2つの物体から成る系全体の運動量が保存される（運動量変化が０）ことを示しています．こちらの式も，$$ v_{2} $$から$$v_{3}$$へ変数変換すると，$$v_{1}，v_{3}$$平面で傾き-√M/mの直線になります．物体mとMの衝突後に分配される速度変化$$⊿v_{1}$$と$$⊿v_{2}$$の比は，それぞれの質量に反比例するわけですが，質量mの速度$$v_{2}$$を変換した$$v_{3}$$に対しては，$$v_{1}，v_{3}$$の速度変化の比はそれぞれの質量の平方根に反比例します(2')．つまり，$$ v_{3}＝－\sqrt{M/m} ･v_{1}＋C $$で，傾き$$-\sqrt{M/m}$$の直線です．
物体mが壁と衝突するときは，壁は動きませんから，$$v_{3}$$の符号のみ変えます．横軸を速度$$v_{1}$$，縦軸を速度$$v_{3}$$としてグラフを描くと，式（１'）は，半径が$$v_{0}$$の円で，エネルギーが保存される系の状態はいつもこの円上にあるべきです．式（２'）は運動量保存を示すグラフで，$$（-v_{0},0）$$の点から出発し傾き$$ー\sqrt{M/m}$$の直線です．
この直線が円と交差する点が，物体mと物体Mの最初の衝突後の速度$$v_{1}，v_{3}$$の状態です．
その後，物体mはそのまま滑り壁に衝突し，$$v_{3}$$だけが符号を変えます．これは，最初の衝突点の$$v_{3}$$の符号を変えた円上の点になります．
このように続けると，円内に納まるのこぎり歯状のグラフができます．
YouTubeのアニメーションのように，Mの質量を増加させると，直線（１'）の傾きが急になり，のこぎり歯が細かくなるので衝突回数は増加します．
きちんと計算すると，$$tanθ＝\sqrt{m/M}$$として$$\theta =\textrm{tan}^{\textrm{-1 } }\sqrt{m/M}$$，衝突回数Nは，N=２［π/2θ］となり（中心角2θだから），Mが大きくなればなるほど，Nは大きくなります．（［］は数値の整数部分）
$$m/M＝10^{-2p}$$とおくと，$$M$$が大きくなる（$$p→∞$$）とき，$$N→π×10^{p}の整数部分になります．
上の数表のミソは，$$M/m=10^{2p}$$のときしか調べていないので，$$π$$の$$10^{p}$$ 倍の整数部分が並ぶことになる．