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アレクサンダー・ムジカンツキー, 「科学の世界で」2007年第3号より
訳者より口上：私はラッセルのパラドックスがよく理解できません．その簡易な解説は，次のような表現で語られることが多いのでここから始めましょう．
アレクサンダー・ムジカンツキー, 「科学の世界で」2007年第3号より
訳者(SGK)より口上：私はラッセルのパラドックスがよく理解できません．その簡易な解説は，次のような表現で語られることが多いのでここから始めましょう．
町の人々は，自分で自分の髭を剃る（Ａ）か，剃らない（Ｂ）かのグループに完全に2分割できます．どちらの集合にも属さないという人はあり得ませんし，両方に属するということも不可能です．そして，床屋も町の人のうちに入りますから，（Ａ）or（Ｂ）のどちらかの集合に属します．床屋が自分に課したルールで，他人の髭を剃ることができるのは（Ｂ）に属する人に対してです．床屋自身はどちらの集合に属していてもかまいません．もし，（Ａ）に属していれば，自分の髭は自分で剃りますが，（Ａ）の人のひげは剃らないという床屋のルールに反します．もし，（Ｂ）に属していれば床屋の手で髭を剃りますが，自分＝床屋なので，自分で剃ることになり（Ｂ）に存在することが矛盾になります．
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訳者のウォーミングアップはここまでにし，
Александр Музыкантский，В мире науки，№3, 2007
によるゲーデルの紹介に入りましょう：
■20世紀の最も優れた発見といえば、アインシュタインの相対性理論、量子力学、ハイゼンベルグの不確定性原理などです。しかし、多くの著名な科学者（数学者や哲学者）は、前世紀の科学的思想の最大の成果の中にゲーデルの定理を含めています。物理学分野の画期的な進歩が、人間の心の自然の新しい法則への理解をもたらすなら、ゲーデルの仕事は人間の心自体の動作原理をさらによく理解する可能性で、私たちの時代の世界観と文化に大きな影響を与えました。
ゲーデルとは誰か？
Kurt Gödelゲーデルは1906年4月28日、オーストリア-ハンガリーのモラヴィアの都市ブルノ（当時はブルンと呼ばれていました）で生まれました。18歳で、彼は最初に物理学を学んだウィーン大学に入学しましたが、2年後に数学に転向しました。このような科学的関心の変化は、主にバートランド・ラッセルの著書「数学の哲学の紹介」の影響下で起こったことが知られています。科学者としてのゲーデルの形成に大きな影響を与えたもう1つは、ウィーンサークルの活動への彼の参加でした。これは、1920年代後半から1930年代半ばまで定期的にウィーンに集まった、数学者、論理学者、哲学者などの優秀な科学者の集団です。ルドルフ・カルナップ、オットー・ニューラス、ハーバート・フェイグル、モリッツ・シックなどの科学者は、さまざまな時期にウィーンサークルの活動に参加しました。哲学的な積極性の形成は、彼らの活動に関連しています。サークルのトピックスは、自然と社会の知識のうち、科学的知識のすべてをカバーしていました。さまざまなヨーロッパの科学センターで開催された国際会議では、20世紀の基本的な科学的知識の形成で、ウィーンサークルが果たした卓越した役割がありました。ゲーデルは、木曜日のサークルのほぼすべての会議と、彼が主催する国際会議に参加しました。オーストリアでのサークルの活動は1936年に中断され、そのリーダーであるモリッツ・シュリックがウィーン大学の階段でナチスの学生に殺されました。サークルのメンバーのほとんどは米国に移住し、ゲーデルも移住しました。時が経ち、彼はアメリカ市民になり、プリンストンの高等研究所で働き、同じ都市で1978年に亡くなりました。これが彼の人生の輪郭です。職場の友人や同僚は、彼を閉じた人、痛々しいほど傷つきやすく、周囲の世界から切り離され、完全に彼の考えに没頭している人であったことを思い出します。
Kurt Gödel（1906-1978）．写真：「科学の世界で」
世界の論理的理解が、ゲーデルの人生の中心を占めていたという事実は、彼の伝記の奇妙な詳細によって証明されています。1948年、アメリカ市民権の取得の問題が決定されたとき、ゲーデルは、決められた手順に従って、アメリカ憲法の基本に関する口頭試験のようなものに合格しなければなりませんでした。彼はすべての科学的良識をもってこの問題に取り組み、文書を徹底的に研究し、憲法に違反することなく合法的に独裁権を確立することができるという結論に達しました。そのような発見は、彼がテストを受ける役人と話し合うとき、テストに失敗させるだけです。彼はもちろん、合衆国基本法の彼の理解を政治思想の最大の成果であると考えました。彼が市民権を取得したときにゲーデルの2人の保証人の1人として行動したアルバート・アインシュタインは友人です。少なくとも誓いが立てられるまで、彼の議論の展開を延期するように彼を説得しました。その後、歴史は興味深いエピローグとなります。四半世紀後、別のアメリカ人、ケネス・アローは、ゲーデルがアメリカの憲法を研究して到達した命題を一般的に証明したことでノーベル賞を受賞しました。
ゲーデルは何を証明したか？
ゲーデルの名前を不滅にした定理の提示に進む前に、1920年代の終わりまでに数学が直面した問題、正確には、19世紀と20世紀の変わり目に際立っていたその断面を簡単に話す必要があります。それは「数学の基礎」と呼ばれました。
最初に、幾何学の学校コースに立ち寄る価値があります。それは今日まで、2000年以上前に書かれたユークリッドの「原論」を大部分繰り返しています。伝統的な教科書では、最初に、平面上の点と線の特性に関するいくつかの命題が与えられ、そこから「アリストテレス」論理の規則［訳注）三段論法］に従った論理的構築によって、さまざまな重要で有用な幾何学的事実（定理）が推論されます。たとえば、公理の1つは、たった1本の直線が2点を通過すると主張しますが、平行線は無数にあるとする別の公理（ロバチェフスキーが非ユークリッド幾何学で拒否した有名な第5の仮定）もあります。公理の真実は、明白なものと見なされ証明は必要ありません。ギリシャの幾何学の特徴は公理から定理を導くことです。
19世紀の終わりに、ユークリッド原論のすべてのギャップ（数学者の厳密さと推論の正確さの観点で）が埋められました。
ドイツの数学者David Hilbertの本「Foundations of Geometry」は、最新の研究の結果となりました。
ユークリッドの方法の成功は、科学者に彼の原理を数学の他の分野に拡張することを促します。幾何学の後に算術の番が来ました。1889年、イタリアの数学者ジュゼッペ・ピアノは、最初に算術の公理を定式化しました。これは、ばかばかしいほど明白に見えました（ゼロがあり、各数字の後に別の数字が続くなど）が、実際には完全に網羅的です。彼らは幾何学において偉大なギリシャ人の仮定と同じ役割を果たしました。このような記述に基づいて、論理的推論を使用して、基本的な算術定理を得ることができました。
同じ時期に、ドイツの数学者ゴットリーブ・フレーゲはさらに野心的な問題を提起しました。彼は、研究中のオブジェクトの主な特性を公理的に承認するだけでなく、推論の方法を形式化、体系化することを提案しました。これにより、特定の規則に従って、記号のチェーンの形で数学的な推論を書くことができました。フレーゲは彼の結果を「算術の基本法則」で発表しました。その最初の巻は1893年に出版され、2番目の巻はさらに10年間の努力を必要とし、1902年に完全に完成しました。
おそらく、数の科学の発展で最も劇的な物語の1つは、フレーゲの名前と科学的研究に関連しています。第2巻がすでに印刷されていたとき、フリーゲは若い英国の数学者バートランド・ラッセルから手紙を受け取りました。ラッセルは、同僚の素晴らしい結果を祝福しながら、それでも著者の注意を引いた1つの状況を指摘しました。陰湿な「状況」は「ラッセルのパラドックス」であり、後に広く知られるようになりました。
自分自身を要素として含まない集合の集合は、自分自体は要素として含まれるか。フレーゲはすぐに謎を解くことができませんでした。彼は、印刷されていない彼の本の第2巻に、苦味に満ちた言葉を追加するしかありませんでした。「科学者にとって、発見することほど望ましくないことはありません。やっと完成した仕事の基盤が崩壊したこと。バートランド・ラッセルから受け取った手紙は、私をまさにそのような立場に置きました...」苦しんでいる数学者は、大学を卒業し、理論を正すために多くのエネルギーを費やしましたが、それはすべて無駄でした。彼は20年以上研究しましたが、算術に関するこれ以外の論文を書きませんでした。
しかし、ラッセルは、すべての数学をカバーし、フレーゲのアイデアと仕事に正確に依存して、当時知られているすべてのパラドックスのない正式なシステムのバージョンを1902年に導き出すことができました。Principia Mathematica（Alfred North Whiteheadと共著）という本で発表された彼の結果は、実際には論理の公理化になり、David Hilbertは、これが「科学を公理化するためのあらゆる努力の頂点と見なせる」と信じていました。
数学者が彼らの分野の基礎に強い関心を持っているもう一つの理由がありました。事実、19世紀と20世紀の変わり目に、集合理論に矛盾が発見され、そのために傲慢な「集合理論のパラドックス」が生み出されました。これらの中で最も有名な—ラッセルの有名なパラドックス—は、残念ながら、それだけではありませんでした。さらに、ほとんどの科学者にとって、新しい奇妙な発見が当てはまらないことは明らかでした。集合理論は数の科学の建物全体が建てられている基礎の役割をしているので、ヒルベルトが言ったように、この発見は数学の世界に「壊滅的な影響」を及ぼしました。「これらのパラドックスに直面して、私たちは今の状況が長い間耐えられないことを認めなければなりません。考えてみてください：数学（信頼と真実のモデル－概念と推論）は、研究し、教え、適用することが無意味であることになります。では、数学的な思考自体が破綻した場合、どこで信頼性と真実を探すことができるでしょうか？ヒルベルトは1925年6月の数学者会議の彼の報告で嘆きました。
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こうして、3千年ぶりに、数学者は彼らの分野の最も深い基礎を研究することに近づきました。そして、奇妙な構図が浮かび上がりました。数字ファンは、計算を行うルールを明確に記述することを学び、パラドックスによって生じる疑念を排除するために、使われた根拠の「正当性」を証明すれば済みました。そして1920年代の前半までに優れた研究学派を形成した偉大なヒルベルトは、一連の論文で数学の基礎の研究計画（後に「ゲッティンゲンプログラム」の名前が付けられた）を講演しました。最も単純化された形式で、それは次のように表すことができます。数学は、特定の公理体系から導き出された一連の結果として表すことができ、次のことを証明できます。
１．数学は完全です。すなわち、いかなる数学的な記述も、その分野自体の規則に基づいて証明または反証することができます。
２．数学は一貫しています。受け入れられている推論の規則に違反せずに、いかなる命題も証明すると同時に反駁することは不可能です。
３．数学は決定可能です。つまり、ルールを使用して、それが証明可能であるか反駁可能であるかどうか、任意の数学命題について調べることができます。
実際、ヒルベルトのプログラムは、すべての数学的な質問に答えるための、または少なくともそのような存在を証明するためのいくつかの一般的な手順を開発しようとしました。科学者自身は、彼が作成した3つの質問すべてに対して肯定的な答えを確信していました。彼の意見では、数学は確かに完全で、一貫性があり、解決可能でした。残ったことはそれを証明するだけでした。
さらに、ヒルベルトは、公理的方法が数学だけでなく、科学一般の基礎にもなり得ると信じていました。1930年に、彼の記事「自然と論理の認識」で、彼は次のように書いています。
科学のさらなる発展のために、ヒルベルトと彼の学派は成功したでしょうか？彼が信じていたように、すべての数学（および科学全体）が公理のシステムに還元された場合、一般的な論理規則に従ったプログラムに従って、元の命題から次の命題を実証する（つまり、定理を証明する）ことがコンピューターでできます。
ヒルベルトの理論が実現されれば、24時間稼働するスーパーコンピューターは、ますます多くの新しい定理を継続的に証明し、World WideWeb上の無数のサイトに投稿します。数学に続いて、「公理の時代」は物理学、化学、生物学に広がり、そして最後に、人間の意識の科学に変わります。私たちの周りの世界、そして私たち自身は、そのような場合には多少異なって見えるでしょう。
しかし、「普遍的な公理化」は行われませんでした。世界の数学者が数十年にわたって取り組んできた、非常に野心的で壮大なプログラム全体が、単一の定理によって反駁されました。それは、当時わずか25歳のKurt Gödelゲーデルによってでした。
1930年、ケーニヒスベルクのウィーンサークルが主催した会議で、彼は”論理計算の完全性”に関する発表をし、翌年の初めに、”Principia Mathematica と関連システムの根本的な困難”に関する論文を発表しました。彼の仕事の中心は、数学のさらなる発展において基本的な役割を果たす定理の定式化と証明でしたが、不完全さについてのゲーデルの有名な定理は、「どのような一貫した公理システムであっても、受け入れられた公理系内で、証明または反証することができない命題が存在する」と述べています。このように、ゲーデルはヒルベルトの最初の命題に否定的な反応を示しました。 興味深いことに、ヴェルナー・ハイゼンベルグは同じ会議で「因果関係の知識と量子力学」について講演しました。このレポートで、”不確定性原理”の最初のアプローチが提示されました。
■ゲーデルの定理
それから四半世紀が経過しましたが、ゲーデルが何を証明したかについての議論は続いています。特に熱狂的な議論が疑似科学界で起こっています。「ゲーデルの不完全性定理は本当にユニークです。神々の存在から理由の欠如まで、"世界のすべて"を証明したいときはいつでも言及されます」と、優れた現代数学者V.A.Uspenskyは書いています。
多くの推測はさておき、科学者はゲーデルの評価で二分されました。ラッセルに続いて、現代の数学論理の基礎となるこの有名な定理は、この分野以外の研究にほとんど影響を与えないと信じる人もいます。
数学者は、「ゲーデル以前」の時代に、彼らの定理を証明していたように、今日も証明をしています。
新しい定理を絶えず証明し続けるコンピューターの幻想に関しては、そのような活動の意味に多くの専門家から、大きな疑問が投げかけられています。確かに、数学にとって、証明された定理の定式化だけでなく、その理解も重要です。これにより、さまざまなオブジェクト間の接続を識別し、どの方向に進むことができるかを理解できるからです。そのような理解がなければ、形式化された推論ルールに基づいて生成された定理は、一種の「数学的なスパム」にすぎません。これは、モスクワ州立大学の数学論理および機械と数学のアルゴリズム理論部門のメンバーであるアレクサンドル・ シェニの意見です。
ゲーデル自身も同様の方法で推論しました。数学の基礎の完全性を破壊したとして彼を非難した人々に、彼は、「実際には何も変わっておらず基礎は揺るぎないままで、彼の定理は論理の鉄の法則に支配される科学分野で、直感と個人的なイニシアチブの役割の再評価につながっただけ」と答えました。これには何かメリットがあるというわけではありません。
ゲーデルとアインシュタイン（「科学の世界で」より）