1. 壁紙模様p3m1とp31mの違い

壁紙模様の対称性は，平面群で17種類に分類できますが，平面群p3m1とp31mの対称性はとてもよく似ています．
以下の２つはともにエッシャーの作品です．比較鑑賞しましょう．

　　　　　p3m1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　p31m

どちらも3回回転対称のある繰り返し模様ですが，鏡映面の入り方に違いがあります．
白い線は鏡映面です．
P31mの方には，鏡映面が集まっていない3回対称軸がありますが
P3m1の方の3回対称軸の場所には，鏡映面が集まっています．
両者の絵から受ける微妙な印象の差は，図のモチーフもあるでしょうが，このような対称性の違いの影響もありそうです．

■正三角形の鏡室の万華鏡を作ると，p3m1の壁紙模様が観察できます．
しかしながら，p31mの壁紙模様は自然には得られません．
その理由は，p31mでは鏡室の内部の図柄が3回対称である必要があるからです．
鏡室の図柄は，ガラス屑が自然に分布して作る図柄なので，
それが3回対称であるなどという偶然はあり得ません．

　　p3m1の例　万華鏡映像　　　　　　　　　　　　　　　　　　p31mの例　　石英の結晶構造

（注）平面群の記号p31m，p3m1の記法について：
p:単純格子，3：紙面に垂直な3回回転軸，
単位胞の辺（並進方向）に垂直な鏡mの有無，その他の方向の鏡mの有無，
（鏡のないときは１と記す）

美しい幾何学，p.100，p.110～112