投稿記事

ピタゴラスの木

投稿日時: 2020/10/08 システム管理者

https://elementy.ru/posters/fractals/Pythagoras

上記ウエブサイトの図を利用していますが,説明文はわかりやすくするために書き換えています.

 

この図形は正方形ばかりでできています.3つ組の正方形が囲む3角形が直角3角形なので,ピタゴラスの定理が成立するので,ピタゴラスの木と呼ばれます.

この構成規則のため木全体が制限されるので,最大の正方形を1とすると,木は6×4の長方形に収まります。したがって,その面積は24を超えません.各ステップで,正方形の辺は1/√2倍に縮小され(面積は1/2)ますが,生じる縮小された正方形の数は2倍ですので,いつも同じ面積が追加されて行きます.このため,木の領域は無限大になるはずです.しかし実際には,正方形がかなり速くから重なり始め,領域がそれほど速く成長できません.それは有限ですが,正確なことはわかっておらず,これは未解決の問題です.

3角形の底辺の角度を変えると,木の形が少し異なります.そして,60°の角度で,3つの正方形すべてが等しくなり,木は平面上で周期的なパターンに変わります.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正方形を長方形に置き換えることもできます.そうすれば,木は本物の木のように見えます.そして,いくつかの芸術的な処理により,かなりリアルな画像が得られます.