システム管理者
Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Koshy，p.37-38より
フィボナッチ数は，いろいろな分野に現れます．
面を密着させた2枚のガラス板（スタックと呼びます）は，図に示すように，4つの反射面を備ています．
［訳注）表面反射；２の裏側，４の裏側は考慮しないようだ］
光線がスタックに入射し，$$n$$回反射$$n \ge 0$$をするときの異なる反射経路の数$$a_{n}$$を求めたい． (L.Moser and W.Wyman，1963年)
$$n=0$$なら反射は起こらない．図3.26に示すように光はガラス板を通り抜けるだけであり，$$A_{0}=1$$.
図3.26
反射が1回あるものは，２つの異なる経路があるので$$a_{1}=2$$；図3.27．
［訳注）表面反射は数えていない］
2回反射が起こる場合には，３つの可能な経路がある；$$a_{2}=3$$；図3.28．
3回反射するなら，５つの可能な反射経路があり，$$a_{3}=5$$；図3.29．
同様に，$$a_{4}=8$$;図3.30．
一般的に，光線が$$n$$回反射されたとして，最後の反射が面1または面3で起こるなら，その前の反射は面２か４で起こらなければならない；図3.31．
面1上で$$n$$番目の反射が起こる経路の数は，$$n-1$$回の反射後に面1に到達する経路の数に等しい．
このようなパスは$$a_{n-1}$$個ある．
$$n$$番目の反射が面3で起こったとすると，$$(n-1)$$番目の反射が面4で起こらなければならない．
このような光線は面4に達する前に既に$$n-2$$回の反射をしていなければならず，
そのような経路は，定義により$$a_{n-2}$$個である．
したがって，加算原理により，$$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$$，$$a_{1}=2$$および$$a_{2}=3$$である．
ゆえに， $$a_{n}=F_{n+2}$$．