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コーシー (1789-1857)、リーマン (1826-1866)
これも19世紀の数学で重要な発見の一つです．「数学が社会（科学技術も含まれる）とどのように係わるかを知る」のが私たちの目的で，数学の勉強会とは別物です．そのような視点で見ても，複素関数論は19世紀に確立した重要な数学分野で，広い応用をもちます．そこで，この数学概念の意義を理解できることを目指します．
私たちの使う関数論は19世紀の数学で確立しました．先に，Fourierフーリエ級数（変換）,Laplaceラプラス変換を取り上げましたが，もう少しだけ複素関数に言及する必要があります．今回は，コーシー-リーマンの方程式を取り上げます．
複素平面（$$x$$軸が実数，$$y$$軸が虚数）に定義域$$D$$をもつ複素関数$$f(z)$$を考えましょう．この関数は領域$$D$$で正則（微分可能）であるとします．微分可能な関数ですから，この領域$$D$$で連続であることはいうまでもありません．
ある点$$z∈D$$での微分は，$$ｘ$$軸に沿って（$$x$$で偏微分）行う微分係数と，$$y$$軸に沿って（$$y$$で偏微分）行う微分係数がありますが，複素関数$$f(z)$$が正則であるとすると，どちらの微分係数も一致し，点$$z$$での微分係数は確定しなければなりません．
関数$$f(z)$$が$$D$$で正則とは，定義域$$D$$のすべての点$$z∈D$$で微分係数が確定する（微分可能）ことです．
関数$$f(z)$$に領域$$D$$での正則性を要請します．定義域内のすべての$$z=x+iy$$に対して，
$$\displaystyle \frac{df(z)}{dz}=\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}+i\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}=\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial (iy)}+i\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial (iy)}$$が成立します．$$x$$で偏微分しても，$$iy$$で偏微分しても等しい．
実部と虚部をそれぞれ等しいとおいて，
$$\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}=\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial y}, \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}=-\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial y}$$が得られます．これをコーシー-リーマンの方程式（条件）と言います．
逆に，コーシー-リーマンの方程式が成立するなら，複素関数f(z)は正則であることが証明できます．
従って，複素関数が正則であるための必要十分条件は，コーシー-リーマンの方程式が成立することです．
■閉曲線$$C$$とその内部で，$$f(x)$$が正則であれば，$$\displaystyle \int_{C}^{}f(z)dz=0$$ ←コーシーの積分定理
（コーシーの積分定理の証明）
$$\displaystyle \int_{C}^{}f(z)dz=\displaystyle \int_{C}^{}\left[ u(x,y)+iv(x,y) \right] \left( dx+idy \right) =\displaystyle \int_{C}^{}\left( udx-vdy \right) +i\displaystyle \int_{C}^{}\left( udy+vdx \right) =$$
$$ =\displaystyle \int_{D}^{}\left( \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial x}+\displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial y} \right) dxdy+i\displaystyle \int_{D}^{}\left( \displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial x}-\displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial y} \right) dxdy=0 $$
（参考）
$$\displaystyle \int_{C}^{}\displaystyle \frac{f(z)}{z-z_{0 } }dz=f(z_{0})\displaystyle \int_{\mit\Gamma }^{}\displaystyle \frac{dz}{z-z_{0 } }=2\pi if(z_{0})$$
■正則な複素関数$$f(x,y)＝u(x,y)+iv(x,y)$$はその実数部$$u(x,y)$$あるいは虚数部$$v(x,y)$$のどちらか一方を知れば他方は決まってしまう．
例えば，虚数部$$v(x,y)$$を知り，コーシー-リーマンの方程式を使うと，実数部$$u(x,y)$$を求めることができる．
例えば，以下のyoutube動画には，このような問題の演習があります．
■応用について
実数部を知って虚数部を求める例として，私のやった実験の話をします．
複素屈折率を $$ \tilde{n}(\omega )=n(\omega )+iK(\omega ) $$と書きます．$$ω$$は光の周波数で実数．複素屈折率$$ \tilde{n}(\omega ) $$は，複素数値をとり，実数部$$n(ω)$$と虚数部$$K(ω)$$があります．
実数部の$$n(ω)$$は反射率に，虚数部の$$K(ω)$$は吸収率に関係があります．
反射率を測定し$$n(ω)$$を知り，$$K(ω)$$を計算し吸収率を求めます．このとき，実数部$$n(ω)$$と虚数部$$K(ω)$$を結ぶのは，クラマース-クローニッヒ変換です．$$ω$$は複素数ではないので，コーシー-リーマンの方程式にははなりませんが，$$ \displaystyle \frac{\tilde{n}(\omega )}{z-\omega } $$は実軸より上側で正則（$$ω$$は極）なので，コーシーの積分定理を使うと，クラマース-クローニッヒ変換を導くことができます．
$$0=\displaystyle \int_{}^{}\displaystyle \frac{n(z)}{z-\omega }dz+i\displaystyle \int_{}^{}\displaystyle \frac{K(z)}{z-\omega }dz=P\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{n(z)}{z-\omega }dz-i\pi n(\omega )+iP\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{K(z)}{z-\omega }dz+\pi K(\omega )$$
$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{n(z)}{Z-\omega }=K(\omega ) \\[0mm]
\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\displaystyle \frac{K(\omega )}{z-\omega }=n(\omega )
\end{array} \right. $$
