システム管理者
これはオーボールという赤ちゃんのおもちゃです．球の表面は互いに接する大きい円20個と小さい円12個でできています．円を正多角形にすれば，いわゆるサッカーボールの形です．つまり，小さい円は正5角形，大きい円は正6角形に対応します．
（問）大きい円と小さい円の半径の比は？
球面多面体の正多角形の辺は球の大円でできていますが，多面体の正多角形の辺は直線でできています．この多面体の1つの頂点の周りには，正5角形，正6角形，正6角形が集まっています．このような多面体は［5,6,6］(シュレーフリの表記法)と記述します．正3角形の面だけが頂点で５つ集まっているのは正20面体で｛3,5｝と記述します．正20面体の頂点を切って（切り口は図の白い面），残りの面が正6角形になるようにすると，多面体［5,6,6］が得られます．
これは，上図のC60［フラーレン（60個の炭素原子からなる）分子．青球は炭素原子C］と同じ形です．
■さて，問の答えですが，オーボールの大きい円と小さい円は，フラーレンの正6角形と正5角形に対応することがわかります．
下図を見てください．
辺の長さの等しい正5角形と正6角形の外接円(内接円)半径比が答えです．計算すると 1:1/2sin36°≒1.176：１
■次の図に示す「組み合わさった立体」は，正20面体（水色）と正12面体（黄色）が組み合わさっています．それぞれの多面体のサイズは，辺の中央でちょうど重なるようにしました．入り組んで組み合わされている多面体は，正20面体｛3,5｝と正12面体｛5,3｝です．これらの正多面体は互いに双対です．
（注）｛3,5｝←→｛5,3｝のように，面の形と頂点に集まる数を入れ替えると，”互いに双対”な多面体が得られます．
サッカーボールもオーボールも，正20面体由来の正6角形（正3角形）の面と正12面体由来の正5角形の面からできています．サッカーボールの面に対応する頂点をもつ双対な多面体を作ると菱形30面体が得られます．
（注）正５角形の面に対応する頂点間と正6角形の面に対応する頂点間が，それぞれ菱形面の対角線になります．
下図の「組み合わさった多面体」で，黄色い頂点と水色の頂点を結ぶと菱形30面体が得られます．
菱形面の１つを赤い線で図に記入しました．この菱形面の対角線比は黄金比です．
