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Dmitry Germanovich Fon-Der-Flaass "Kvant" No. 5、2010
https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431269/Teoremy_sofista_Gorgiya_i_sovremennaya_matematika
Dmitry Germanovich Fon-Der-Flaass（1962–2010）が早すぎる死を遂げました。クバントの読者はこの名前に何度も会ったことがあります。クバント誌はしばしば彼の問題を発表しました。ドミトリー・ゲルマノビッチは大きな科学で成功を収めましたが、それは彼の活動の一部にすぎません。彼は、学童のための数学オリンピック、全連合および全ロシアのオリンピック、そして近年では国際審査員を務めました。彼はさまざまな数学キャンプや学校で講義を行い、国際数学オリンピックロシアチームのトレーナーの一人でした。この文は，2009年に全ロシア子供センター「Орленокオルリョノク（わし）」で、D.Fon-der-Flaassが行った講演に基づいています。
■古代のソフィスト、ゴルジウスは、三つの定理を立てたことで有名です。第一の定理は、世界には何も存在しないということです。第二の定理は、もし何かが存在するならば、それは人間にはわからないということです。第三の定理は、もし何かが認識可能であるならば、それは隣人には言い表せない。
言い換えれば、何もありませんし、何かがあれば、それについて何も知りませんし、何かを知っていても、誰にも言えません。
これらの三つの定理に四番目を追加します。何かを言うことができたとしても、誰も興味を持ちません。
これらの四つの定理は、実は、現代数学の主要な問題です。
ゴルジウスの第一定理
世界には何も存在しない。数学の言語に翻訳すると、数学は理解できないことをしています。ある意味、これは真実です。結局のところ、数学的なものは世界に存在しません。私たちは皆、自然数が何であるかを知っています。それらは1，2，3，4，などです。そして、私たち全員が「など」という言葉の意味を理解しているという事実は大いなる謎です。 「など」は「無限に多い」数を意味するからです。この世界には、無限に多くのものが存在する余地はない。しかし、私たち全員が自然数について考えるとき、私たちは皆同じことを考えていると信じています。私は7の次は8と思うが、あなたも7の次は8と思う。私が19を素数と思うが、あなたも19を素数と思う。この対象物は世に存在しないようですが、私たちはそれを知っており、私たち全員が同じことを知っています。もちろん、これは数学的な謎ではなく、哲学的な謎なので、議論は哲学者にさせます。幸いなことに、私たちは数学的対象の概念を持っているだけで十分で、それらについて考えるすべての人にとって同じです。だから数学が可能なのです。しかし、哲学的な大きな問題は残っています。
数学者が、これを厳密に考えようとすると、問題が発生します。それがこれからお話しすることです。それらが人類の記憶に出現したのはごく最近（過去100年間）のことです。
自然数に加えて、数学にはもっとたくさんのことがあります。ユークリッド平面があり、そこにあらゆる種類の三角形、角度を描き、それらについての定理を証明します。実数がある、複素数がある、関数がある、もっと恐ろしいものもある...。19-20世紀の変わり目（もちろん、それは少し前に始まった）で大きな転機がありました。人々は、多様な数学的対象の全体は、単一の概念 （集合の概念）に還元できることに気付きました。確かに、単純に「集合」とは何か、「など」とは何かということを直感的に理解していれば、基本的にはすべての数学を構築することができます。
問題は、集合で何ができるかということです。集合が存在する場合、それはどういう意味でしょうか？つまり、私たちの世界、数学的対象の世界のどの要素についても、それがこの集合に含まれているか否かを尋ねられたら、はっきりした答えを得られることを意味しています。答えは明確で、私たちの意志とは完全に独立しています。これは、集合を使ってできる最初の基本的なことで、要素が集合に属するかどうかを調べることです。
もちろん、集合自体は何らかの方法で構築する必要があります。そして、最終的には、すべての豊富な数学的対象がそれらから構築されます。それらはどのように構築されるでしょう？たとえば、空集合Øを作成できます。この集合に属しているかどうかに関係なく、どの要素について質問しても、答えは常に「no，属していません」となり、空集合はすでに一意に決定されています。空集合に関するすべての質問は即座に答えられます。
そして、空集合だけしか含まない集合{Ø}を作成できます。繰り返しますが、この集合があるとはどういう意味ですか？これは、どの要素についても、それがこの集合に属しているかどうかを判定できることを意味します。そして、この要素が空集合である場合、答えは「yes」、この要素が他の要素である場合、答えは「no」になります。したがって、この集合もできました。
ここからすべてが始まります。より直感的な操作をいくつか使います。 2つの集合がある場合は、それらを結合できます。これは、一方または他方の集合の要素を含む集合があると言えます。繰り返しますが、要素が結果集合に属するか否かという質問に対する明確な答えができます。だから私たちは結合を築くことができます。等々。
ある時点で、無限に多くの要素が存在する集合があることを宣言する必要があります。自然数があることを知っているので、無限の数が存在すると信じます。自然数の集合も利用できることを宣言します。無限の集合が現れると、整数を定義できます。整数は、ゼロまたはマイナス記号の有無にかかわらず自然数のいずれかです。これはすべて、集合理論の言語で行うことができます。
有理数を定義できます。有理数とは、分子と（ゼロ以外の）分母の2つの数値のペアです。それらの間に加法と乗法を定義する必要があるだけです。そして、そのようなペアが同じ有理数と見なされるときの条件は何でしょうか。
実数とは何か？これが興味深いステップです。たとえば、それは無限小数であると言うのも良い定義でしょう。無限小数とはどういう意味ですか？つまり、各自然数は実数に含まれます。
ところで、数学者は実数をこのように定義するわけではありません。我々がすでに押さえた有理数の集合を見れば、厳密には実数の集合よりも小さいものであることを宣言しておきましょう。これは非常に厄介な定義です。実は、以前の定義と非常に似ています。例えば実数3,1415926だとすると (無限の数の連鎖が続いている)例えば、それよりも小さい有理数は何でしょうか？小数点以下の端数を切ります。3.14という数字が出てきますが、考えた実数よりも小さいです。小数点以下第4位の端数を切ると3,1415個になり、これも考えている実数よりも小さい有理数が1つ増えます。自分の数よりも小さい有理数をすべて知っていれば、その数だけで決まることは明らかです。そのような絵を視覚的にイメージすることができます。直線はすべて実数で、その中でどこかに私たちの未知数があり、その左に私たちの未知数よりも小さい多くの有理数があります。他の側のすべての有理数は、それよりも大きくなるだろう。これら2つの有理数の間に1つのチップがあることは直感的に明らかで、このチップを実数と呼ぶことにします。集合の概念から始まって、数学全体が少しずつできていきます。