格子

--研究したのはガロワと同級生だったこともあるブラベーBravais（1848）--
■　周期（デジタル化で生じる），格子，並進群
2次元世界では，互いに独立な2つの基本並進ベクトルが採れます．これを$$a, b$$（両者の長さが同じときは$$a_1，a_2$$と書く）としましょう．
$$a，b$$の整数係数の1次結合をすべて集めた $$ T={h･a+k･b| h,kは整数｝ $$を，
この平面の格子点の集合（あるいは単に“格子”）といいます.
集合$$T$$は無限集合になりますが， 群の条件を満たしており，$$T$$を並進群とも呼びます．格子を発生させる源となった$$a，b$$の組みの対称性で，格子のタイプが分類できます．これを研究したのはブラベーBravaisで，3次元のブラベ格子は14種であることを数え上げました（1848年）．
ブラべ格子とは，結晶点群の対称性を基準に，格子のタイプ分類をしたもの2次元のブラベー格子は5種類，3次元では14種類，4次元では64種類あります．今回のシリーズでは，よく理解できることを優先し，すべて2次元世界に限定して話を進めています．

■　図の見方

格子点●が並んでいます．この格子は，ベクトルa，bの一次結合で生じます．
格子点の1つを原点にし，自分に隣接する格子点と結び，それを垂直２等分する線で囲まれた領域をディリクレ胞（あるいは，ウイグナー=ザイツ胞）などと呼びます．ディリクレ胞タイルの形は，このタイルで平面を隙間なく埋め尽くせる形です．格子の対称性は，ディリクレ胞タイルの形に反映されています．ディリクレ胞は格子点をただ１つ含みます．単位胞というのは，並進の基本ベクトルa, bで囲まれた平行4辺形のことで，格子点を1つ含む単位胞は(one point cell)と呼ばれ，この場合は単純格子pになります．複数の格子点を含む単位胞は（multi point cell）で，複合格子(体心格子I，面心格子F，C面心格子C，A面心格子Aなどが3次元以上で出現)になります．2次元世界では，面心（or体心）格子（私はここで”菱形格子”と名付けました）だけが複合格子です．複合格子というものは，図形の特徴を見やすくするためだけのものなので，複合格子（multi point cell）をいっさい用いず，単位胞の格子（one point cell）だけで統一することもできます．

■５つの2次元ブラベー格子

 美しい幾何学，p50～51, p54～55