ポアンカレ万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2014.12.09］ No.041
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆皆様，お元気でお過ごしでしょうか．選挙が迫り慌ただしい日々ですね．
大事な選挙です．私はもう期日前投票を済ませましたよ．
先週土曜日には，河合弘之弁護士の作ったドキュメンタリー「日本と原発」を
見てきました．皆様の近所でも有料試写会（自主上映）がきっとありますので，
ぜひご覧になることをお勧めします．
「原発は複雑系なので，事故が雪崩を起こす弱点（ここを攻撃されると過酷事故になる）
が思わぬところにある．その引き金となるのは，地震・津波だけではない」と，
メルマガ006に掲載したことがあります．ぜひお読みください．
バックナンバーはブログにもあります．私は，原発だけは止めたいと思っています．
高木仁三郎さんと「宮沢賢治をめぐる冒険」でお話したとき（1997年）のことが
昨日のように思い出されます．この本は，市民科学者として活躍した高木仁三郎さんが
羅須地人協会に打ち込んだ賢治と重なって見える良書です．
これら数学以外のことは，ブログの方に掲載することにしましょう．
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◆双曲幾何の円盤世界
Fig.1の灰色の円盤内の世界は，双曲幾何の世界です．
この世界の直線は，世界の果て（外周円）に直交する円弧
－例えば，Fig.1の赤い円－です．もちろん直径のような本当の直線も
灰色世界の円盤の外周円に直交しますのでこの世界の直線です．

赤い円で2分された灰色世界の左側と右側は
赤い円を反転円として，互いに反転鏡映像になっています．
Fig.1　
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/67/16306967/img_1_m?1418046545

2つの平面鏡と１つの円柱鏡で作られる万華鏡（Fig.2）を見てください．
赤く塗った3角形の各辺は，この円盤世界の直線です．
赤く塗った3角形の頂角は，30°－45°－90°．内角の和は165°で180°に
足りませんが，この円盤内の世界は双曲幾何の世界なので当然です．

赤く塗った3角形の辺を紙面に垂直な方向に伸ばした3角柱を考えると
平面2枚と円柱鏡からなる万華鏡ができます．
円柱鏡が生む映像は数学的な反転鏡映像としますと
Fig.2のような円盤内の分割（ポアンカレ万華鏡像）が得られます．
塗られた3角形と白い3角形は鏡映の度に入れ替わるので市松模様です．
Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/67/16306967/img_0_m?1418046545

実際に作ってみました．ポアンカレ万華鏡を再現するのは困難です．
円柱鏡での光の反射（物理的）は，数学的な反転操作とは異なり
厳密な数学的な反転鏡映は，光学的には実現できないのが残念です．