統計数理研究所オープンハウスの話題

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数学月間SGK通信 ［2015.06.30］ No.070
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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6月も末になりました．今年は梅雨らしい雨がありません．
皆様の方は如何でしょうか．いよいよ数学月間（7/22～8/22）
の月になりますね．
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6月19日に統計数理研究所のオープンハウスがありました．
（統計数理研究所は立川にあります）
統計数理研究所には，
モデリング研究系，データ科学研究系，数理・推論研究系
の3つの系があり，各系にはそれぞれ３つのグループがあります．
オープンハウスでは，100件に近いポスター展示
（大学院生のポスター発表も27件含まれる）がありました．
午後は，「統計よろず相談室」や講演などがありこれも人気でした．
ポスターで興味深かったテーマを一つだけ紹介します．
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電波干渉計の新たなイメージング法について，池田思朗准教授ほか

電波望遠鏡（アンテナ）を地球規模で複数個配置し，
各アンテナで受信する信号の相関処理をして，一つの仮想的な
巨大望遠鏡としたものを電波干渉計と呼ぶそうだ．
受光電波はcmオーダーのミリ波らしい．

(注)
*　ALMA望遠鏡（チリ共和国北部にあるアタカマ砂漠の標高約5000メートル
の高原に建設される）は，66台以上の電波望遠鏡を並べ，
これらの受信データを組み合わせて一つの巨大な仮想望遠鏡とする.

*　赤外線に近い電波を「サブミリ波」波長＝1~0.1mm，周波数＝300GHz~3THz
少し波長が長い電波を「ミリ波」波長＝10~1mm，周波数＝30GHz~300GHｚ

ブラック・ホールからは光が来ないと思っていたが，
ブラック・ホールの口で生じるプラズマから光（電波）が来るそうだ．
この光を受光して，光源の像を得ると円環状で，
ブラック・ホールの穴の形が見えるらしい．

これは宇宙オーダーの話だが，物質からのX線散乱を観測して
物質の原子的構造（nmオーダー）を見る話と非常に似ている．
そこで，私になじみのある結晶の例で理解を試みようと思う．
結晶（物体）ρ(r)からでる散乱X線F(R)は，Fourier変換の関係にあり
F(R)=W･ρ(r)，　ここで，WはFourier変換の演算行列．
もし，F(R)がわかれば，逆変換ρ(r)=W^-1･F(R)で，
ρ(r)が求められる．しかし，実際に観測できるのは，
複素数F(R)の大きさ|F(R)|のみで，位相はわからない．
だから，位相の推定法が，結晶学の主要な課題になっている．
位相推定には，逆空間をNyquist周波数以上でサンプリングする
オーバーサンプリングの測定も最近やられるようになった．

（注）
*　我々のいる観測空間は，物体ρ(r)のFourier変換スペクトルF(R)
の観測をするので，逆空間（R-空間）と呼ばれる．
これに対し，物体のある空間を実空間（r-空間）と呼ぶ．

宇宙からの電波の受光では，位相は計測できるようだ．
問題は，受光アンテナを乗せている地球が，
観測空間（逆空間）内の限られた軌道上を動く（自転や公転）だけなので，
限られた逆空間のデータしか観測できないところにあるらしい．

位相はわかるにしても，圧倒的に狭い逆空間内の観測データだけから，
逆Fourier変換で光源の形を求める課題である．
つまり，F(R)を観測できずに，圧倒的にゼロの多い2次元行列Fo(R)
しか得られず，この2次元行列を逆Fourier変換し，
光源のイメージ（2次元画像）を得なければならない．
おそらく，観測スペクトルFo(R)とモデルイメージのFourier変換像W･ρ(r)
との差||Fo(R)-W･ρ(r)||が最小となるように最小２乗法でρ(r)を求める
と同時に，観測できなかった範囲の逆空間の推定値も決まるのだろう．
もしかして，このプロセスで，光源の中心対称性などの光源の形に関する
何らかの束縛条件を仮定して推定を進めるのかもしれない？

（注意）この解説は私の推測を補っています．
発表内容の詳細を全部把握したわけでないので
不正確な部分があることをお断りしておきます．