黄金比3角形のパズル

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数学月間SGK通信 [2016.08.30] No.130
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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暑かった8月も終わろうとしています.学校の夏休みも終わりですね.
今日は図形のパズルです.難しい計算は必要ありません.
図形を見て考えるのみです.ユークリッド幾何の世界ですから
我々が身に着けた直観や常識で間に合い,特別な知識は要りません.
「錯角(平行線とこれに交わる直線があるときにできる角度)は等しい」
ことを使いますが,これも日常生活で身についている直観でしょう.
このように,図形の問題は特別な知識は必要ありません.
諦めずに図形を眺めていましょう.そのうちわかります.

小梁修(OSA工房)の黄金三角形パズルの一つを紹介します.
(1)正五角形の中を図のように分割して作った3種類の三角形があります.
Q1.これらはどれも2等辺三角形ですが,何故でしょうか.
ヒント:両底角が等しいと2等辺三角形になります.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_3_m?1472477472

これらの3種類の三角形の面積に関して,以下の関係があります.
(水色の三角形)+(黄緑色の三角形)=(オレンジ色の三角形)
Q2.これを証明してください.
(補助線一本でわかります)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_0_m?1472477472

(2)水色と黄緑色とオレンジ色の三角形パーツを使って
色々な大きさの正五角形を作りました.
(1)の正五角形(基本正五角形と呼ぶ)の面積を1とすると
Q3.作った色々な大きさの正五角形の面積はいくらでしょうか.
(5a^2:c^2:a^2:b^2 の面積比になります)
ここには基本正五角形(辺長a)の他に,
5x基本正五角形(辺長√5a),大正五角形(辺長c),小正五角形(辺長b)
が出てきます.
c^2=a^2+b^2 の関係があることを証明してください.
(この関係は,これらの三角形の面積が S_c=S_a+S_b であること
 [Q2でも証明している]から得られます)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_2_m?1472477472