ダビンチの星型・続き

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数学月間SGK通信 ［2017.02.21］ No.155
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■ユニット折り紙で作ったダビンチの星型の続きです．これは，
芯に置いた正8面体の各面に正3角錘が乗っている形です．Fig.4
星型の頂点を結ぶと芯にある正8面体に双対な正6面体ができます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/19/17902919/img_0_m?1486823996

このユニット折紙では，正３角錐の面は正3角形ではなく直角3角形です．
そして，各面はツートンカラーになっています．
対称性を調べると，芯の正8面体の頂点方向に（x,y,ｚ軸）4回回転対称軸，
各正3角形の面に垂直に3回回転対称軸，2つの4回回転軸の中間（同じことだが，2つの3回回転軸の中間）に
2回回転対称軸があります．色の変化を調べると，
4回回転軸により4色の置換，3回回転軸により3色の置換と1色の保存，
2回回転軸により2色の置換と2色の保存が起こります．

この図形には4回軸があるので，色置換の操作も含めて完全な対称性にするには，
塗り分けには4色用いる必要があります．
3回軸の方向から見ると3色見え，見えないもう一色は，
3回軸で保存され，3回軸に垂直な面の大円上にあります．
3回軸の方向は4本あり，3回軸それぞれは，軸に垂直な大円上の色を保存するので，
結局，塗り分けには全部で4色使うという言い方もあります．

■写真(Fig.5)
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_0_m?1487566646
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_1_m?1487566646

この星型は，立方体の6つの面に，正3角形の面で出来ている正4角錐が乗っています．
芯になる立方体の1辺の長さを１とすると，星型の頂点の高さは√2/2，
もし，星型頂点の高さを立方体の辺の長さの1/2に短縮すると，
星型の凹入角がフラットになり体心格子のデリクレ胞(菱形12面体)になります．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_4_m?1487566646
(Fig.6)左が星型正24面体，右が菱形12面体

展開図は色々なものができますが，作りやすいものにするのがよい設計です．
星型24面体と菱形12面体の展開図を比較して見て下さい．（Fig.7）
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/18/17913418/img_6_m?1487566646
美しい形ですので作って見ると良いでしょう．

■正20面体を芯にして，正3角形の各面の上に正3角錘（正4面体）を乗せた星型が，星型正60面体です．
正3角形の面が10個集まっている点と3個集まっている点（頂点）が交互にある星型です．
1枚の連続した紙に展開図を描くことはできません．