空間充填パズル

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数学月間SGK通信 [2016.06.14] No.119
<<数学と社会の架け橋=数学月間>>
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空間充填パズル

空間は正8面体だけでは隙間なく充填することは出来ません.
(1)正8面体と立方8面体を組み合わせて空間を充填することができます.
ペロブスカイト構造に見られる正8面体と立方8面体による空間の充填構造
(2)正8面体と正4面体を組み合わせて空間を充填することができます.
ダイヤモンド構造に見られる正4面体と正8面体による空間の充填構造

(1)の場合は,正8面体と立方8面体の個数比は1:1です.
どのようにして数えますか?
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/14/17051514/img_2?1445217129
(解答)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_0_m?1465832802
赤い立方体の中に立方8面体が1つ納まっています.立方体の8つの頂点に
隙間がありますが,この隙間は正8面体の1/8の形です.したがって8つ集めると正8面体1つになります.
よって,個数比は,正8面体:立方8面体=1:1 です.

(2)の場合は,正8面体と正4面体の個数比は,1:2です.
どのようにして数えますか?
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/62/17051462/img_1_m?1453416995

(解答)
正8面体が辺を共有するように配列しています.赤枠の正方柱の中に正8面体が2つ入ります.
なぜなら,1つは丸々入り,赤枠内の8つの頂点周りにある間隙には正8面体の1/8の形が入るからです.
さらに,正8面体間には間隙があり,その形は正4面体(橙色)です.
ただし,赤枠の中に入るのは正4面体の1/2の形で,上側に(1/2)x4個,
下側も同様ですので合計4個が赤枠内に入ります.結局,個数比は; 正8面体:正4面体=1:2 です.

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_7_m?1453418256
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_2_m?1465832802

■小梁(OSA工房)によるCube充填パズル
周期的な空間でできるこの詰め込み構造を,立方体の単位胞の中につくります.
そのためには正8面体を分割した部品にする必要があります.
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_5_m?1453418256