表面だけのスカスカの立体

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数学月間SGK通信 ［2016.10.11］ No.136
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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表面だけのスカスカの立体は，面がシェルピンスキーのカーペットでできている
メンガーのスポンジが知られています．この図形は穴を開けるたびに，表面積は増加し，
体積は減少するので，質量はゼロで，表面積が∞の不思議な図形です．
メンガーのスポンジの次元は，　2.7268....になります．

■ここでは，正4面体から出発し似たような図形を作って見ましょう．
正8面体の４つの面に正4面体を組み合わせると，2倍の辺長の正4面体ができます．
この手順を繰り返すと，だんだん大きな正4面体ができます．
図1 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/80/17708080/img_0_m?1476098595
図2 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/80/17708080/img_1_m?1476098595
この手順を逆にしてみましょう．
正4面体体積を１とすると，正4面体の中にできる正8面体の体積は1/2です．
（Q何故でしょう？）
この正8面体をくり抜くと，正4面体が4つ残り，合計の体積は1/2．
元の正4面体の表面積と，残された４つの正4面体の表面積合計は不変です．
（Q何故でしょう？）
次に，4つの正4面体からそれぞれの正8面体をくり抜くと，
残りの体積がさらに1/2になりますが，表面積はやはり不変です．

■この操作をn回繰り返すと，体積は(1/2)^nになるが，表面積は不変です．
この調子で，無限に操作を繰り返すと，表面積はスタートの正4面体と同じだが，
質量はゼロであるようなスカスカの物体が得られます．
この図形の作り方は，メンガーのスポンジと呼ばれる図形に似ていますが，
質量はゼロになるが表面積は∞にはなりません．
この図形の次元は，2倍の長さのところに４つの1世代前の図形が入るから，
log4/log2=2　で2次元です．