3つの幾何平面

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数学月間SGK通信 ［2015.10.26］ No.086
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学

色々な幾何空間があります．
大きく分けて，ユークリッド幾何空間と非ユークリッド幾何空間です．
非ユークリッド幾何空間には，楕円幾何，双曲幾何の支配する幾何空間があります．
我々の常識が通用するユークリッド幾何の世界では，
“直線l外の1点をA通り，その直線に平行な直線“は，唯一本だけ引けます．

平行線が1本も引けない世界や，無数に引ける世界とはどんな世界でしょうか？

これら3種類の幾何空間を，平面を例にとり比較します．

（１）ユークリッド幾何平面　　（２）楕円幾何平面　（３）双極幾何平面
例⇒　我々の常識の世界　　　　　球の表面　　　　　　ポアンカレの円盤モデル

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/81/17061581/img_0?1445817357

それぞれの空間で，“直線の定義を変えれば”，
そのようなことが起こる世界があることを納得できるでしょう．
2点間を結ぶ直線とは，その世界で2点間の距離を最小とするものです．

（１）常識の通用するユークリッド幾何平面
2点間の距離が最少なのは我々の知っている直線です．
（２）球の表面は楕円幾何平面の例
球表面の世界では，大円（球中心を通る平面で切った球の表面）が直線です．
地球自体は3次元ユークリッド空間の物体ですが，表面だけなら楕円幾何平面です．
地球上の2点間の距離が最小のものは大圏コースと呼ばれますが，
これは地表の大円上の線分のことです．
異なる２つの大円は必ず2点（直径の両端）で交わるので，
直線外の1点を通る平行線はありません．また，地球儀の
緯線のようなもの（小円）は大円でないのでこの世界では直線になりません．
（３）双曲幾何平面の例（ポアンカレ円盤モデル）
双曲幾何の世界のポアンカレ円盤モデルでは，
円盤のフチに直交する円弧を，直線と定義します．
この世界では，ある直線に対する直線外の1点を通る平行線は無数に引けます．
円盤モデルの世界では，円盤のフチに近づくほど見かけの距離はどんどん縮むので，
フチの近傍は実際は無限の距離があり，永久に地平線に到達できません．
確かにこのような円弧が最短距離です．