2重振り子の話題

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数学月間SGK通信 ［2015.03.17］ No.055
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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とうとう桜の花も咲きだしました．やるふりだけの中身のない政治や仕組みに呆れます．
メルマガくらいは，実質のある楽しんでいただけるものをと心がけようと思います．
ご希望コメントなどをお寄せください．

■振幅の大きな2重振り子の動画がyoutubeなどに色々あります．
大変滑稽な動きをしますのでまずご覧ください．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16560015.html
にはインターネットから拾った2つの例を掲載しています．
第１の動画は実験，第２の動画はシミュレーション結果です．
なぜこのような話をするのかと言えば，
２重振り子は，振幅の小さいうちは，皆が見たことのある自然な振動をしますが，
ある程度以上の振幅になると，とても不自然な滑稽な動きになるからです．
振幅が大きいときは，始めのスタート位置（初期値）によって結果が変わることにも気づくでしょう．

■このような系（エネルギーが保存される）の運動は，
ラグランジュ関数（運動エネルギーと位置エネルギーの差）に対する
オイラー=ラグランジュ方程式を解けば決定できます．
ラグランジュ関数　L(x(t),x'(t)，t)は，座標x(t),速度x'(t)，時間tの関数です．
オイラー=ラグランジュ方程式というのは変分原理とも呼ばれ，
ラグランジュ関数の時間積分（これを作用積分といいます）が
停留値となるようなx(t)の経路を見つける方法です．
ここでは，代表して変数はx(t)しか記述していませんが，
実際は自由度の数だけ変数があり，
これと同じ数だけオイラー=ラグランジュ方程式ができます．
エネルギーが保存される系では，ラグランジュ関数は作れるのですが，
オイラー=ラグランジュ方程式は，一般に解けません（解を関数で書けません）．
昔，私達が物理学で演習したのは，解のある特殊なケースばかりだったのです．
注）振幅の小さい範囲では，x(t)やx'(t)の2乗まで残す近似で，
線形な微分方程式の固有値問題に帰着します．
詳細はhttp://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16560687.html

■問題は振幅の大きいときの運動を知る方法です．
これは解析的な解が得られないので，
今日のようにコンピュータが使えるようになって数値計算ができるようになりました．
そのためのプログラムは，次のような手順です．
現在の位置と速度をx(n),x'(n)とします．
x(n)，x'(n)から加速度x''(n)を得るのは，オイラー=ラグランジュ方程式を使います．
一方，x'(n+Δ)＝x'(n)+x''(n)Δ，　x(n+Δ)＝x(n)+x'(n)Δ　ですから，
x(n), x'(n), x''(n)から，時間ステップΔ後の x(n+Δ)，x''(n+Δ)が更新できます．
このようにして，初期値から，逐一運動の様子を求めていきます．

■力学系を記述するラグランジュ方程式は存在するのだが，
解を関数で記述できない（解けない）方程式が大多数です．
系の運動を支配する法則（ニュートン力学）は明確なのに，
解が関数で記述できないのです．コンピュータによって
運動は逐一決定できますが，常識と違う予想もつかない挙動が起こる．
分岐やカオスです．このようなことを指摘したのはポアンカレでした．

・1766　オイラー「変分法の原理」
オイラー，　ラグランジュ
・1800　ラグランジュ「解析力学」
エネルギー散逸がない系は，オイラー＝ラグランジュ方程式が作れる
オイラー，　ハミルトン，　ヤコービ
・1900　ポアンカレ
可積分の方程式はごくわずか
大部分の方程式は非可積分（関数で記述できない）
ニュートンの法則に従う系の運動は，可積分と決めつけてはいけない．
－－－－－－
可積分　→　予測可能，安定な軌道　互いに独立な因果列
非可積分→　カオス的　　　　　　　干渉し合う因果列