ペンローズ・タイル張り

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数学月間SGK通信 ［2016.03.01］ No.104
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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平面の非周期なタイル張りの一つが，
ロジャー・ペンローズが考案した（1966）ペンローズ・タイリングです．これは
2種類のタイルによる規則的ではあるが，周期的ではないタイル張りです．
2通りの方法でペンローズ・タイリングを作る．
（１）正10角形から出発して，分割・拡大を繰り返して作る
ペンローズ・タイリングに出てくる２つの2等辺3角形　A型とB型は，
正５角形の中にあります．この図形には黄金比１：φがたくさん出てきます．
A型やB型の2等辺3角形の等辺と底辺の比はφ：１（A型）や１：φ（B型）．
ただし，φ＝1.618･･･
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/95/17313295/img_0_m?1456754314
黄金比の3角形は，分割すると同じ型の3角形が含まれている性質があります．
A型およびB型の2等辺3角形は，それぞれ図示したように分割できます．
この性質を利用して，正10角形から出発して，分割とφ倍の拡大を繰り返すと
平面全体をA型とB型の２等辺3角形で埋め尽くすことができます．
こうしてペンローズのタイル張りを得ることができます．
タイルの分割が十分進んだときの，AのタイルとBのタイルの個数の比は，
φ(=1.618･･･)：１の黄金比になります．
図は3回の分割と拡大を繰り返して得た図形です．
この図形で見られる形は，凧(2A)と矢(2B)です．
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(2)正5角形のフラクタル配置を繰り返して作る
正5角形を一回り大きな正５角形の内に並べます．
これをさらに一回り大きな正5角形の内に並べます．
これを次々繰り返すと，全平面を埋め尽くすフラクタル図形ができます．
図上段は，この操作を3回繰り返したところです．
ギャップができますが，気にしないで配列を進めます．
実は，後でギャップの中も正五角形（白色）で埋めます．
すると最終的には，王冠型や星型のギャップが残されることがわかります．
この図をよく見ると，図中段のような2種類のタイル（黄色と青色の菱形）で
置換えると，図下段のようにペンローズ・タイリングであることがわかります．
図下段右の大きなペンローズ・タイリングはこのようにして得たものです．
このペンローズ・タイリングには，中心に5回回転対称が残っていますが，
中心の回転対称を消す配置も可能です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_3_m?1456754576