ペンローズタイル張り(1)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2016.11.01］ No.139
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ペンローズ・タイル張りのことは，以前に触れたことがあるのですが
面白いがわかりにくいとのコメントもいただいているので，
図も少し変えて，もう一度2回に分けて掲載しようと思います．

ロジャー・ペンローズが考案した（1966）ペンローズ・タイリングは，
2種類のタイルによる規則的ではあるが，周期的ではないタイル張りの一つです．

（１）正10角形から出発して，ペンローズのタイル張りを作る
このタイル張りで用いられているのは2種類のタイル（A型とB型）です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/95/17313295/img_6_m?1477918345

二等辺3角形　A型とB型は，正５角形の中にある形で，
それぞれ，等辺と底辺の長さの比が黄金比になっています．
等辺:底辺=Φ：１（A型），あるいは，等辺：底辺=１：Φ（B型），
ただしΦ＝1.618･･･

黄金比の3角形は，分割すると，自分自身と同じ型の3角形が含まれている性質があります．
この性質を利用して，A型の3角形(10枚)が作る正10角形から出発して，分割とΦ倍の拡大を繰り返し，
平面全体をA型とB型の２等辺3角形で埋め尽くすことができます．
分割してもΦ倍拡大をするのでタイルの大きさは変わらず，外周の正10角形の形も変わりませんが，
タイルの数はどんどん増えていき，無限の広さを覆いつくします．
タイルの分割が充分進んだときの，AのタイルとBのタイルの個数の比は，
Φ(=1.618･･･)：１の黄金比になります．
４番目の図は，3回目の分割と拡大を繰り返した結果です．
この図形で見られる形は，2A(凧型，青色)と2B(矢型，緑色)の2種類のタイルです．
このようにして，ペンローズ・タイリングの一つを得ることができます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/95/17313295/img_7_m?1477918345