平面タイリングの観賞

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数学月間SGK通信 ［2015.02.03］ No.049
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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１種類の形（2等辺3角形）の赤色と黄色のタイル（赤タイルと黄タイルは互いに鏡像）
で作ったタイル張り模様を鑑賞しましょう．
1種類のタイルで，平面をタイル張りすると，必ず周期的なタイル張りになってしまう
と思い込むのは間違っています．確かに，
Fig.4　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/97/16430597/img_5_m?1422741853　や
Fig.5　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/97/16430597/img_6_m?1422741853
のような周期的なタイリングはすぐ思いつきます．
しかし，
Fig.2　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/97/16430597/img_1_m?1422741853　や
Fig.3　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/97/16430597/img_2_m?1422741853
のように非周期なもので，平面をタイル張りするものがあります．
Fig.2は中心に回転対称があるタイリング模様で，点群5mの対称性です．
Fig.3は，２つの目がある螺旋パターンのタイリングで，
水平線は映進面だと思うかもしれませんが，このパターンには周期がありませんから
映進操作はできません．螺旋の目の間（中心）に対称心があります．

さて，ここで万華鏡で作られるタイリング模様
Fig.1　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/97/16430597/img_0_m?1422741853
の登場です．
この万華鏡を生む3枚の鏡は１つの頂点では点群を生成しますが，他の２つの頂点では点群を生成しません．
従って平面を赤と黄色の市松模様で埋めることはありません．
全体の代数系は，群より緩いもの（特殊な亜群）になってしまいますから非常に複雑です．
対称操作は局所的で，独自の作用域と値域があり興味深いものです．
作用域，値域の制限のために，一つのタイル全体が無傷で写像されるパターン内の位置と，
部分が写像される位置があり，このような複雑なタイリング模様ができます．

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