システム管理者
はじめに
ピタゴラスの定理 「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しい」。
これを教わったのは中学2年の1学期、幾何の時間であった。黒板に先ず斜辺が水平に描かれる。そして直角を頂きにした三角形、そして各辺に正方形、Cの正方形各辺に内に向かって同形の三角形と続く、黒板に白墨が走り、よどみのない説明。あっという間に､図形での証明が終わった。
A²＋B²＝C²の、A,B,C、3数が整数であるもの ピタゴラス数、（3，4，5）を知り得たのもこの頃である。
余談だが、私の中学2年は昭和19年、前年秋学徒出陣、そしてこの19年秋国民総動員令、一級上の3年生が工場などへ動員、登校しなくなった。我ら2年生は翌20年3月2学年修業翌日から､一日の春休みも無く工場へ振り分けられた。そして8月15日を迎える。外地であったから学校は閉鎖、9月30日までの3学年在学証明書を頂いた。この様な事情で2学年の授業記憶が鮮明なのだろう。
12年前、2008年7月「谷山豊さん没後50年にあたって」上野正先生の講話、「谷山の問題」が解ければ「フェルマーの定理」の証明になると言うことで、先ずピタゴラス数解法の 一般式 (ｎ²―ｍ²)²＋(2ｍｎ)²＝(ｎ²＋ｍ²) から入られた。お話を伺いながら、中学での代数の時間が蘇った。
A²―B²＝（A―B）(A―B)。ピタゴラス式の＋をーに置き換えたかたちである。
ピタゴラスの式 A²＋B²＝C²、 これをA²＝C²―B²、B²＝C²―A²と置き換えれば、
A値から、或いはB値から他の２数は容易に求めうる。
このようにしてピタゴラス数を集め楽しんでいると、他の考え事で疲れた頭脳が蘇る。３０分～１時間程度この簡単な計算を遊び心で試してみませんか。問題は無限にあり、容易に選ぶことが出来る。遊び方の参考までに
１） A値から求める方法
２） B値から求める方法
３） その応用として直方体の各辺と各面の斜線が整数であるもの。
４） C値から求める方法
に就いて纏めてみた。
そして、A²＋B²＝C²、Aは奇数、Bは偶数､互いに素として
１． A値は３≦の総ての奇数で成り立つ
２． B値は４を含め総ての４の倍数で成り立つ。
３． C値は、60進法の規律に従い、全奇数の3分の1に満たない。
1． A値を基準にピタゴラス数を並べる
A²＝C²―B²＝(C―B)(C＋B)の式より
3²＝1ｘ9であるからC -B＝1，C＋B＝9として、C＝5，B＝4が求められる（3，4，5）と表記する。以下同様にして、
5²＝1ｘ25より C―B＝1，C+B＝25 （5，12，13）
7²＝1ｘ49 C―B＝1，C+B＝49 (7，24、25)
9²＝1ｘ81 C―B＝1，C+B＝81 （9，40、41）
9は3²であるから（3，4，5）より、共約数3を含む（9，12，15）もある。
11²＝1ｘ121 C―B＝1，C+B＝121 （11，60、61）
13²＝1ｘ169 C―B＝1，C+B＝169 （13，84，85）
15²＝1ｘ225＝9ｘ25 より2解、
C―B＝1、C+B＝225 （15，112，113）
C―B＝9，C＋B＝25 （15，8，17）が得られ、
共約数を含む（15、20，25）（15，36，39）もあること勿論である。
17²＝1ｘ289 C－B＝1，C+B＝289 （17，144，145）
19²＝1ｘ361 C―B＝1，C+B＝361 （19，180、181）
このようにして、A≧3の全奇数でピタゴラス数を見いだせる。
3素数の積、105＝3x5x7では
105²＝1ｘ11025＝9ｘ1225＝25ｘ441＝49ｘ225より
（105，5512，5513）（105，608，617）（105，208，233）（105，88，137）
が得られ、また共約数3，5，7，15，21，35を含む9例のピタゴラス数もある。
2． B値基準にピタゴラス数を求めるには
4＝√2ｘ2√2，8＝√2ｘ4√2，12＝3ｘ√2ｘ2√2，16＝√2ｘ8√2、
20＝5ｘ√2ｘ2√2・・・とすれば、A値同様に求められる。
4²＝2ｘ8、 C―B＝2，C＋B＝8 （3，4，5）
8²＝2ｘ32、 C―B＝2、C＋B＝32 （15，8，17）
12²＝2ｘ8ｘ9 C―B＝2，C＋B＝72 （35，12，37）
C―B＝8，C＋B＝18 （5，12，13）
16²＝2ｘ128 C―B＝2，C＋B＝128 （63，16，65）
20²＝25ｘ2ｘ8 C―B＝2，C＋B＝200， （99，20，101）
C―B＝8，C＋B＝50 （21，20，29）
ここまでの楽しみ方のコツ。2桁までは素数、非素数の見分けは容易であろう。3桁でも3，5，7，11，13，17，19，23，29，31まで当たれば判別できるが、それ以上では息切れしよう。むしろ積極的に、素数を掛け合わせて4桁､5桁の数を楽しんでもよい。
ｂ値の場合は､先ず4で割り、累乗数を確かめる。
3．直方体のピタゴラス数
直方体の三辺と側面の三つの対角線全部の長さが整数であるもの、三辺A, B, Cとして
A²＋B²＝E²、B²＋C²＝F²、C²＋A²＝G²総てが整数であるもの、オイラーが発見したといわれるのが（117，240，267）（240，44、244）（44，117，125）である。
この解はA=117＝3²ｘ13のピタゴラス数、3，9，13，39の共約数あるもの（ゴシック表示）を含めて
（117，6844，6845）(117、44，125)（117、156，195）（117，520，533）
（117，756，765）（117，2280，2283）（117，240，267）より
（44，240，244）を見出したのであろう。同様にして
A=187＝11･17より （187，1020、1037）（1020，1584，1884）（1584，187，1595）
A=195＝3・5･13より（195，748，773）（748，6336，6380）（6336，195，6339）
A=275＝5²・11より （275，240，365）（240，252，348）（252，275，373）
と得られる。
A＜1000の範囲であと幾つ見つかるだろうか。この問題は日数かけて少しずつ計算を積み重ねて楽しむこと。
4．C値基準にピタゴラス数を探す。
（A,B,C）のC値よりピタゴラス数を求める簡易式は見当たらない。
ｍ＞ｎは、奇数偶数の組み合わせとして
(ｍ²+ｎ²)²―(ｍ²―ｎ²)²＝4ｍ²ｎ²＝(2ｎｍ)²から、ピタゴラス数を導く一般式 (ｍ²―ｎ²)²＋(2ｍｎ)²＝(ｍ²＋ｎ²)²
即ちｍ²―ｎ²＝A, 2ｍｎ＝B, ｍ²+ｎ²＝Cが得られる。
これを用いて C値とそのピタゴラス数を求めると
――― 6²+5²＝61 （11，60，61）
2²+1²＝5 （3，4，5） 8²+1²＝7²+4²＝65 （63，16，65）（33，56，65）
3²+2²＝13 （5，12，13） 8²+3²＝73 （55，48，73）
4²+1²＝17 （15，8，17） ―――
４²＋3²＝25 （7，24，25） 9²＋2²＝7²＋6²＝85 （77，36，85）（13，84，85）
5²+2²＝29 （21，20，29） 8²+5²＝89 （39，80，89）
6²+1²＝37 （35，12，37） 9²+4²＝97 （65，72，97）
5²+4²＝41 （9，40，41） 10²+1²＝101 （99，20，101）
――― 10²+3²＝109 （91，60，109）
7²+2²＝53 （45，28，53） 8²+7²＝113 （15，112，113）
左列はC＜60，右列は61≦C＜120の全C値である。右列の数より60を差し引くと、左列の数と一致する。C＜60での欠番は1と49＝7²であり、61≦C＜120での欠番は77＝7ｘ11のみ。
C値､即ち（ｍ²＋ｎ²）は60進法で大変理解しやすく、奇数（１，５，１３，１７，２５，３７，４１，４９，５３）に
60P（Pは整数）を加算したものに限られ、その中より素数がC値でないものの倍数は除外される。
また25＝5²、65＝5ｘ13，85＝5ｘ17のように、C値となった素数の累乗値、素数同士の積は総てC値となる。
5²＝25，13²＝49＋60ｘ2，17²＝49＋60ｘ4，13ｘ17＝41＋60ｘ3， 29ｘ37＝53＋60ｘ17， 41ｘ53＝13＋60ｘ36のように。
ここに120以下の素数（1を除く）を、C値と C値以外とに分けて列挙する。
C値： 5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97，101，109，113
非C値：3，7，11，19，23，31，43，47，59，67，71，79，83，103，107，119
また別表「C値、 60進法による整理」に60ｘ84までのC値を記載した。
65＝5ｘ13， 85＝5ｘ17 など２素数の積では、2解が得られる。この基本解の他に、共約数を含む付随解(39，52，65)(25，40、65)、（51，68，85）
(75，40，85)があることも注目しよう。
C値が3素数の積であれば、基本解4解と付随解9解、C値が４素数の積であれば、基本解8解と付随解32解となり、C値を共有してこれら三角形を重ね合わせると、C値を直径とした半円周上に、40の直角三角形が連なる。
4素数の積として5ｘ13ｘ17ｘ29＝32045について例示する。
32045＝179²＋2²＝178²＋19²＝173²＋46²＝166²＋67²＝163²＋74²＝
157²＋86²＝142²＋109²＝131²＋122²
基本解
(32037、716、32045)（31323、6764、32045）（27813、15916、32045）
（23067、22244、32045）（21093、24124、32045）（17253、27004、32045）
（8283、30956、32045）（2277、31964、32045）
付随解
（19227、25636、32045）（12325、29580、32045）（28275、15080、32045）
（23205、22100、32045）（31059、7888、32045）（16269、27608、32045）
（29029、13572、32045）（4901、31668、32045）（3757、31824、32045）
（31603、5304、32045）（24795、20300、32045）（3045、31900、32045）
（11475、29920、32045）（29325、12920、32045）（30875，8580、32045）
（10075、30420、32045）（1363、32016、32045）（23693、21576、32045）
（27349、16704、32045）（31117、7656、32045）（30821、8772、32045）
（27931、15708、32045）（17051、27132、32045）（7259、31212、32045）
（30381、10192、32045）（25389、19552、32045）（18291、26312、32045）
（11661、29848、32045）（31955、2400、32045）（24205、21000、32045）
（19795、25200、32045）（3955、31800、32045）
今回、ここで終える。次回「ピタゴラス4数」と遊びたい。 以上