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18世紀前半，ヨハン・セバスティアン・バッハの『平均律クラヴィーア曲集』が出版されました．平均律音階というのは，隣り合う音の周波数比$${q}$$を一定にして，1オクターブを12の音で構成したものです．
例えば，周波数$${f}$$の音から始めると，
$${ \{ f, fq, fq^2, …., fq^{12}=2f \} }$$ ，13番目の音はオクターブとなります．
$${q^{12}=2}$$を解くと，$${q=\sqrt[12]{2}=1.059463…}$$
隣り合う音の周波数比$${q}$$を一定にした（平均律）ことで，どの音から始めても同じ音階の平行移動ができ（移調ができる），図のようなピアノの鍵盤が作れるのです．黒鍵，白鍵すべてで隣り合うもの同士が半音階（周波数比$${q}$$）になっています．
バッハの平均律が凄い発明というのは，簡単な周波数比になる2音は心地よく響き和音を作るわけですが，完全5度，完全4度などの和音を良い精度で近似できるからです．
自分自身の音との間隔を完全1度といいます．完全5度とは，例えば，A（ラ）とE（ミ）のような純正律なら周波数比が$${2:3}$$になるような2音の間隔で，平均律では，$${q^7=1.4983 \fallingdotseq3/2}$$の周波数比です．
完全4度とは，例えば，E(ミ)とA（ラ）のような純正律なら周波数比が$${3:4}$$になるような2音の間隔で，平均律では，$${q^5=1.3348 \fallingdotseq4/3}$$の周波数比です．
このように，平均律の和音の響きは，純正律と異なりますが，非常に良い近似になっていることがわかります．
応用：音楽
数学： 幾何級数、無理数
『数学的構成要素』p.96-97；ただし，説明は全面的に変えた。