システム管理者
f_{n m)=\int\it\Psi_{n}^*\hat{f}\Psi_{m}dq=\<n|\hat{f}|m\>
ある閉じた系の波動関数を$${\it{\Psi}(q, x)}$$とする．$${x}$$は考えている部分系の座標，$${q}$$は閉じた系の残りの座標である．系全体の波動関数が$${\it\Psi(q, x)=\it{\Psi}_1(q)\it{\Psi}_2(x)}$$と書けるのは特殊な場合で，一般には，全体系の波動関数は存在するが，部分系の波動関数は存在しない．この部分系$${x}$$が関与する物理量を$${f}$$とする．その演算子$${\hat{f } }$$は$${x}$$だけに作用する．この状態の全体系で観測される物理量$${f}$$の平均値は；
$${\bar{f}=\int \int{ \it{\Psi}^*(q,x)\hat{f} \it{\Psi}(q,x)dqdx}=\int{[\hat{f} \rho(x',x)]_{x'=x}dx } }$$
$${\rho(x', x)=\int{\it{\Psi}^*(q,x')\it{\Psi}(q,x)dq } }$$ は，「系の密度行列」と呼ばれる．物理量の演算子$${\hat{f } }$$は，密度行列の$${x}$$のみに作用するので，$${\rho(x',x)}$$に作用させた演算後の結果で$${x'=x}$$と置くことができ，このように変形ができる．
波動関数（固有関数）を持たない部分系の状態は，このように密度行列を用いて記述できる．密度行列はこの系に関係のない$${q}$$座標を含まないが，閉じた系全体の状態に依存している．波動関数を持つ部分系（純粋状態）に対して，密度行列を用いて記述される状態は混合状態と呼ばれる．［ランダウ&リフシッツ「量子力学」参照］
波動関数$${\it\Psi}$$はヒルベルト空間（無限次元のベクトル空間）の要素（関数あるいはベクトル）である．$${m}$$個の固有関数$${\it\Psi_{i}, (i=1,….,m)}$$の重ね合わせ状態を考える．$${\it\Psi(q)=\Sigma a_{i}\Psi_{i}(q)}$$
$${\bar{f}=\Sigma\Sigma a_{i}^*a_{j}\int\it\Psi_{i}^*\hat{f}\Psi_{j}dq=\Sigma\Sigma a_{i}^*a_{j}f_{i j } }$$
$${f_{i j}=\int\it\Psi_{i}^*\hat{f}\Psi_{j}dq=⟨i| \hat{f} |j⟩}$$
$${f_{i j } }$$は遷移行列， $${|j⟩=\it\Psi_{j } }$$はケットベクトル，$${⟨i|=\it\Psi_{i}^*}$$はブラベクトルと呼ばれる．
ケットベクトル$${|\it\Psi_{i}>}$$が張る空間と，ブラベクトル$${<\it\Psi_{i}|}$$が張る空間は，互いに双対空間である．
物理量$${f}$$の観測値は，規格直交系$${|i⟩=|\psi_{i}⟩}$$であるとき，各固有関数に対する確率を$${p_{i } }$$とすると
$${\bar{f}=\Sigma_{i}p_{i}⟨i| \hat{f} |i⟩}$$
密度演算子$${\rho=\Sigma_{i}|i⟩p_{i}⟨i|}$$を用いると，
$$ \bar{f}=Tr \rho\hat{f}=\Sigma_{i}p_{m}Tr(|i⟩⟨i|\hat{f}) $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
$${\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} }$$