システム管理者
GPSやGLONASS(ロシアの衛星測位システム)受信機が，軌道上の衛星から座標を受信すると考えるのは間違っている．第一，衛星はあなたの座標を知らないし，第二に，衛星はメッセージを，あなただけでなく全員に，一斉に「宇宙から」送信している．では，ナビゲーターはどうやってあなたの座標を決定するのでしょうか？衛星ナビゲーション・システムには，宇宙と管理の2つの主要機能がある．宇宙機能は，地球の周囲に均等に衛星を配置することである．地球上にある管理機能は，すべての衛星で「システム全体」の時刻を同期させ，単一の座標系を使用することを保証する．各衛星は，メッセージ送信時の衛星の座標と送信時刻を含むナビゲーションメッセージを継続的に送信している．このようなメッセージを受信した受信機は，衛星までの距離を次のように計算することができる：$${d =(t^{(pr)} - t^{(otpr)})c}$$この式では，信号の移動時間（送信時刻$${t(otpr)}$$から受信時刻$${t(pr)}$$まで）に無線信号の伝搬速度，すなわち光速$${c}$$を乗じている．一方，直交座標系であなたの座標を$${(x; y; z)}$$とし，送信時の衛星の座標を$${(x1; y1; z1)}$$とすると，衛星とあなたの距離$${d_1}$$の2乗は$${(x - x_1)^2 +( y - y_1)^2 +(z - z_1)^2}$$である．受信機が同時に2つの衛星からナビゲーションメッセージを受信した場合，受信機はあなたの座標$${(x;y;z)}$$を求めることができる．
$${(x - x_1)^2 +( y - y_1)^2 +(z - z_1)^2 =d_{1}^2}$$
$${(x - x_2)^2 +( y - y_2)^2 +(z - z_2)^2 =d_{2}^2}$$
$${(x - x_3)^2 +( y - y_3)^2 +(z - z_3)^2 =d_{3}^2}$$
ここで，$${(x_i; y_i; z_i)}$$は$${i}$$番目の衛星の座標で，$${d_i}$$は衛星までの距離である．このシステムの幾何学的解釈は以下の通りである．ある衛星からのメッセージ は，あなたがいる地点を中心とし，衛星までの距離を半径とする球を定義する．
これら2つの球体の交点は，一般的に言えば円である．第3衛星からのメッセージはもう1つの制約（もう1つの球）を追加する．それらにより，あなたの座標は決定される．3つの球が共通の点を持つということは，システムの構成そのものから導かれる．２つの「形式的な解」(円と3つ目の球の交点)のうちの１つは題意に適さず，もう一つがあなたの座標である．記述した衛星 ナビゲーションシステムのスキームは単純化されているが，現実にはもっと複雑なモデルを使う必要がある．例えば，記述された方式は誤差に非常に敏感である．主要な誤差の一つは，時計の精度の影響である．
衛星の時計はナビゲーション・システムの地上局と通信し時間を修正する手段を持たない．もし，時計がシステム全体の時刻と0.001秒ずれているとする．光速は秒速30万キロメートルであるので，衛星までの距離に300キロの誤差が生じる！記述したシステムでは，もし解があったとしても，あなたの場所は違うものになるだろう．幸いなことに，このような問題も克服可能である．たとえ時計の精度がわからない，例えば，受信機の時計がシステム全体の時刻より（未知の）$${δ}$$だけ遅れているとしよう．メッセージを受信した瞬間の読みは$${t^{(pr) } }$$である．ナビゲーターは，衛星までの距離を$${d =(t^{(pr)}-t^{(otpr)})c}$$と「仮定」する．これは真の距離$${d +δc}$$より小さい．座標$${(x; y; z)}$$と新しい未知数$${r =δc}$$を求めるには，別の方程式が必要である．4つの衛星からのデータがある場合に次のようなことができる：
$${(x - x_1)^2 +( y - y_1)^2 +(z - z_1)^2 =(d_1 +r)^2}$$
$${(x - x_2)^2 +( y - y_2)^2 +(z - z_2)^2 =(d_2 +r)^2}$$
$${(x - x_3)^2 +( y - y_3)^2 +(z - z_3)^2 =(d_3 +r)^2}$$
$${(x - x_4)^2 +( y - y_4)^2 +(z - z_4)^2 =(d_4 +r)^2}$$
この問題の解を幾何学的に解釈すると次のようになる．受け手は半径$${r}$$の球の中心であり，その球は外部から（時計が遅れていたため）半径$${d_i}$$の4つの球に接しており，その中心は衛星である．このような球が存在し，その中心があなたの位置である．(図はこの問題の2次元バージョンを示している．半径$${r}$$の円が3つの円に外部で接している)．このシステムを使って座標を計算することで，ナビゲーターは，座標が得られ，追加の "ボーナス "として，ナビゲーターはシステム全体の時間の値を受け取り，時計を修正し，正確な時刻をあなたに伝えます！
応用：ナビゲーション・デバイス
数学: 球、座標法、方程式系
『数学的構成要素』p.110-111より
2次元の世界のGPSなら２つの衛星，3次元の世界のGPSなら３つの衛星が最低必要だということです。