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本論文は，準周期タイリング（PT，ABタイリング，フィボナッチ準結晶を含む）の魅力的な特性を活用し，新しいQECCを構築する．PTの配置を量子的に重ね合わせることで，どのような有限領域Kにおいてもエラー訂正ができるQECCを構築する．私たちの構築は，準周期タイリングの一般的な性質（局所的な識別不可能性と回復可能性）に基づくものであり，他のこのようなタイリングに対しても適用できる．
フィボナッチ準結晶を用いて，このQECCの離散版を構成し，それはスピン鎖上で具現化できる．
ABタイリングを用いて，同様のQECCコードが有限の空間的広がりを持つ系（トーラス上）でどのように実現できるかを示した．有名な トーリックコード[12]との類推は有益である．
トーリックコードの波動関数は，トーラス上のループ配置の重ね合わせとして書くことができる．
これらのループとトーラスの2つの非自明なサイクルの交点の数のパリティに基づいて，ループ構成は4つのトポロジー的に異なるクラスに分類され，4次元のコード空間を持つQECCが得られる．我々の波動関数式(4)はトーリックコード波動関数と多くの性質を共有している．どちらの波動関数も幾何学的なパターンの重ね合わせであり，論理的な情報はパターンの全域的な振る舞いに符号化される．両者とも，幾何学的パターンのレベルで，局所的な識別不可能性と回復可能性という概念を持っている．
さらに，両者とも，有限深さの幾何学的局所ユニタリー回路では，波動関数を作れないという意味で，長距離エンタングルである[33]．
一方、トーリックコードは、消去された領域が非連続的で、トーラスのサイズに匹敵するものであっても（トポロジー的に非自明なループを含まない限り）消去を訂正することができるが、第V節の有限サイズのトーリック構成とその証明は、エラーが単一の連続した領域（そのサイズはシステムサイズに線形に比例する）に含まれるという事実に依存している．もう一つの違いは、我々のコード空間を任意の局所ハミルトニアンの基底状態の空間として実現できないことだ．このことを理解するために、式(4)において、配置依存の位相因子を挿入し、次のように定義できることに注意する．
$${|\tilde{Ψ}_{[T]}⟩ = \int dge^{iθ(gT)}|gT⟩}$$ . (11)
同様の計算により、$${|\tilde{Ψ}_{[T]}⟩}$$は任意の有限領域Kに対して$${|Ψ_{[T]}⟩}$$と同じ還元密度行列ρKを持つ。したがって、任意の局所ハミルトニアンは$${|Ψ_{[T]}⟩}$$と$${|\tilde{Ψ}_{[T]}⟩}$$で同じエネルギーを持たなければならない．
追加の基底ベクトルとして$${\{|\tilde{Ψ}_{[T]}⟩\} }$$を含めることによってコード空間Cを拡大しようとするかもしれぬが、これはうまくいかない．なぜなら$${|Ψ_{[T]}⟩}$$と$${\tilde{Ψ}_{[T]}⟩}$$の重ね合わせはもはや同じ還元密度行列$${\rho K}$$を持たないからだ．
この点で，式(4)の構成は，並進不変性を課すゲージ制約下でのマッチングルールの基底状態と考えた方がよいかもしれない．このようなQECCを研究室で作成し，誤り訂正アルゴリズムを実装し，符号化，復号化，論理演算を行うにはどうすればよいかという問題を再検討することは興味深い．
最後に，ここで議論したPT QECCは，量子重力に関する何か，そしてその時空に関連する（あるいは符号化される）時空の下に横たわる量子重力の微小状態に関する何かを捉えている可能性があることを示唆するいくつかのヒントを挙げる．
(i)第一に，双曲空間における量子重力のホログラフィックな描像[15]は，それ自体が一種の量子誤り訂正符号[16]であり，さらに，双曲空間を元の等長変換群の大きな離散部分群を保存するタイリング上で離散化すると[17]，このタイリングは自然にペンローズ的な（あるいはフィボナッチ的な）非周期的なタイリングのスタックに分解する[34]。
(ii)第二に、上で強調したように、状態｜T⟩と｜gT⟩は絶対参照枠が存在する場合にのみ区別可能である。
しかし、アインシュタインの重力理論の根底にある中心的な考え方のひとつは、一般共分散原理である。
一般共変の原理であり、物理学的には、そのような絶対的な参照枠は存在しないと主張する（そして数学的には、微分同型不変性が自然法則の厳密なゲージ対称性であると主張する）。言い換えれば、「ペンローズのタイリングの微視的状態」が空間のどこに位置するかを問う場合、微分同型不変性を尊重するためには 差分同型不変性を尊重するためには、答えは次のようになる。という答えにならざるを得ない。つまり、式(4)のコード状態のいずれかに正確に位置する！(iii）。第三に、このように微小状態を重ね合わせる方法に関する本質的な位相の曖昧さ、すなわち、不等価な基底{|Ψ[T]↪Pe_27E9} vs {|Ψ〜[T]⟩}を定義する自由は、より大きなヒルベルト空間Hにコード空間Cを埋め込む無限の異なる不等価な方法に対応します。
コード空間Cをより大きなヒルベルト空間Hに埋め込むことは、時空間において「ゼロ粒子状態」をどのように定義するかについて（これも微分同型不変性による）本質的な曖昧さがあるという事実を反映しているようだ。