システム管理者
オレンジを買ってきて半分に切った．
オレンジの半分に，皮と果肉のどちらが多いか見た目で わかりますか？
この質問は奇妙に思える．なぜなら，皮はオレンジの端の薄い層なのだから．しかし，球の端にある比較的薄い皮は，他の部分と同じ体積を持つことが分かった．例えば，直径10cm，皮の厚さ1cmのオレンジの場合，全体の体積のほぼ半分が皮の体積である．調べてみよう．半径$${R}$$と$${r（r＜R）}$$の2つの球を考える．
小さい方の球の体積が，大きい方の球の体積の半分になるような球の半径は？半径 $${R}$$の球の体積は$${V_{R} = 4/3 \pi R^3}$$
題意の$${r}$$を見出すには
$${V_{r}=V_{R}-V_{r } }$$ $${4/3 \pi r^3 =4/3 \pi R^3 -4/3 \pi r^3}$$
これから，$${R^3 =2r^3}$$ が得られる．すなわち，
$${r=R/ \sqrt[3]{2} \fallingdotseq0.79R\fallingdotseq4/5 R}$$
このように，球の体積の半分が，半径の1/5の表面近くの層に集中している．図のオレンジでは、果皮と果肉は等しい．
嫌な薬を飲むように子供を説得するにはどうしたらいいのだろう？
数学的なトリックがある．うまくいったら、薬に加えて、詳細説明も飲み込ませることができる．
混合薬を円錐形のグラスに注ぎ，「病人」に半分飲むように勧めると，たいていの人は「半分」を自動的に「半分の高さ」だと思い込み，グラスの中身の$${7/8}$$，つまり，ほとんど全部を飲むだろう．
実は，液面が約$${1/5}$$下がると，グラスの半分が飲み干される．
これは，オレンジの例で計算したのと同様である．
証明は，球の体積の公式ではなく，同様な円錐の体積の公式に置き換えるだけだ．これは，どのような形の円錐グラスでも成立する．
応用：日常生活
数学：円錐、円錐の体積
『数学的構成要素』p.92ー93 より抜粋