システム管理者
2014/05/27
009_非ユークロッド幾何学
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数学月間SGK通信 ［2014.05.27］ No.009
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆双曲幾何のポアンカレ・モデルの世界
円盤の中に宇宙があります．
円盤のフチに近づくほど自分もどんどん小さくなるので，
歩いても歩いてもフチまで行けません．Fig.1をご覧ください．
円盤の中に描かれた円弧はすべて，フチと直交しています．
この円盤の世界では，これらは皆，直線なのです．
◆反転円による鏡像
円盤のフチと直交するこれらの円の一つ，例えば，
赤い円弧で分けられた円盤の世界は，左が大きく右が小さい
ように我々には見えます．しかし，円盤の世界（双曲幾何の世界）
に住むとどちらも同じ広さで無限に広い．
なぜかというと，赤い円で分けられた円盤内の世界は，
赤い円を反転円にすると，互いに鏡像になるからです．
(注）円による反転とは-------ｰｰｰ
反転円の半径をrとるると，互いに反転鏡像となるA,B2点の
反転円の中心からの距離をa,bとすると，a･b=r^2 です．
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我々のユークリッド空間では，鏡像というと直線鏡によるものですが，
円盤内の双曲幾何の世界では，フチと直交する円弧(この世界では直線）
による反転で鏡像が作られます．
◆Fig.1は円版の世界をフチに直交する円弧（この世界の直線）で
分割した例です．鏡映が起こるたびに色が変化するように，
市松模様に塗り分けてみました．
こような分割の表記にはシュレーフリの記号が使われます．
Fig.1は[4,6]と表記しますが，これは，どの頂点も同じ状態で，
正4角形が6つ頂点に集まっているという意味です．
我々にはゆがんで見えるかもしれませんが，
円盤内の世界ではこれらは皆同じ正方形なのです．
Fig.1