システム管理者
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数学月間SGK通信 ［2014.05.09］ No.002
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■無限大の脅威（2014年米国MAMの話題より）
今回は，奇妙な数学の話です．数式はうまく表示できているでしょうか？
■発散する級数
$$S=1+2+3+4+....+n+....=-1/12$$
正の整数すべての総和が無限大でなく-1/12である．正気の沙汰なのか？
このとんでもない結果は，1748年に偉大なオイラーにより導かれた．
発散する数列は悪魔の発明であり，
無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．
発散する級数の研究は，アーベル（1802-1829）に端を発する．
そして，数学者がこの悪魔の細部を解決するのに続く百年を要した．
リーマンの解析接続の理論(1859)を待ち理論的解決した．
現代では，物理学（超弦理論,量子計算）や数学（ζゼータ関数）で
利用している．
リーマンは素数の分布を調べるためにζ関数に解析接続をした関数の
0点を研究し，リーマン予想を提示した(1856）．これはまだ解かれていない．
■オイラーの発見が現実に
オイラー＋リーマンの ζ関数は無限級数の形で定義される．
$$ζ(s)=1+2_{-s}+3_{-s}+4_{-s}+5_{-s}+....$$
この関数は，実部が1より大きい$$Re(s)>1$$複素平面で収束するが，
実部が1あるいは1より小さい$$ Re(s)≦1 $$複素平面では発散する．
そこで，全複素平面（ただし１は極）に，ζ 関数の定義域を拡張
するのに解析接続という手段が役立つ．
$$S=ζ(-1)=1+2+3+4+5+....$$
$$S_1=1-1+1-1+1-1+....=1$$ 奇数項までの和
0 偶数項までの和
この和は，偶数項で止めれば0，奇数項まで止めれば１になる．
しかし，解析接続という理論を使うと1/2になることを以下に示す．
$$f(x)=1+x_2+x_3+x_4+x_5+....=1/(1-x)$$
この多項式は公比$$x$$の等比級数だから，
$$|x|<1$$なら収束し$$1/(1-x)$$になる．
もとの多項式は$$|x|<1$$の外では発散するので定義できないが，
級数を解析接続した関数$$1/(1-x)$$に繋ぎ，形式的だが
$$x=-1$$を入れると 1/2 が得られる．
$$S_1=f(-1)=1-1+1-1+1-1+....=1/2$$
級数$$S_1, S_2$$などを等式と見立て加減演算をし，$$S$$を求めてみよう．
$$∞+∞$$などの無限大を数値のように演算しているのが気持ち悪いが
解析接続で収束した級数を用いているので実は正しい結果になる．
$$S_2=1-2+3-4+5-6+....$$とすると，
$$2S_2=1-2+3-4+5-6+....$$
$$+[1-2+3-4+5-6+....]=$$
$$=1-1+1-1+1-1+....=1/2$$
ゆえに，$$S_2=1/4$$が得られる．
$$S-S_2=1+2+3+4+5+6+....$$
$$-[1-2+3-4+5-6+....]=$$
$$=4(1+2+3+....)=4S$$
ゆえに，$$S=-S_2/3=-1/12$$
■参考
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
超弦理論入門，大栗博司，ブルーバックス
リーマン予想を解こう，黒川信重，技術評論社
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