システム管理者
2次元平面には，裏表があると思いますか／ないと思いますか？
2次元とは厚み方向の次元のない世界ですから，その世界には，表面や裏面の区別はありません．しいて言えば，片面だけ（1面だけ）の平面です．この2次元平面を私たちの住む3次元世界に置いたとすると，表側面と裏側面の区別が生じます．
周期的な2次元平面とは，面内に２つの独立な並進ベクトル$$a，b$$があり，この２つのベクトルで挟まれる平行4辺形を単位胞（単位タイル）として，平面を敷き詰めた構造です．周期的な2次元平面の対称性（平面群）は17種類ありました．いわゆる17種類の壁紙模様のことです．2次元平面（壁紙模様）は片面のみの世界で考えたものです．
我々の3次元の世界の中で，2次元の平面を見たときに，表面と裏面の区別が生じますが，このように表裏のある2次元平面を「層」と呼びます．
層というのは，3次元の世界に置かれた2次元平面ですので，層には表面と裏面があります．
層（表側と裏側のある面）の2次元周期的模様の対称性（空間群）は,80種類あります．もちろん，80種類のうちに片側のみの面の対称群17種類は含まれます．
片側のみの面の対称群17種類から，どのようにして80種類の空間群が導けるのでしょうか．
第１の方法は，層の内部（層に含まれるような）に，対称心，鏡映面（あるいは，映進面），2回軸（あるいは，2回らせん軸），などの，位数２の対称操作を導入し，片面の世界を他の面の世界に写像することです．つまり，
片面のみの壁紙模様の17種類の平面群と，層の内部に置いた位数2の対称群との直積で「層の空間群」を生成する方法です．
第2の方法は，2次元（片面）平面群の生成元を，表面と裏面との間の変換が起こるものに置き換える方法です：回軸対称軸を位数２のらせん軸に，あるいは鏡映面を映進面に置き換えることです．
こうして，17種類の平面群から，80種類の層の空間群を導くことができます．
層の（空間群）対称性をすべて導くことは，30年代にドイツの科学者；Hermann，Weber，Alexanderらによって完了しています．
層に対する空間群など，何に応用できるのかと思う方もおられることでしょう．層の対称性（空間群）は，表面や界面の記述に用いることができます．結晶学では液晶構造，ドメイン界面，双晶，エピタキシャル接合の研究に，物理化学では単分子層や薄膜の研究に，生物学では膜構造やその他の生体組織の研究に応用できます．また，建築芸術においても， 透かし彫りの格子構造，覆い，フェンス，看板などのデザインに応用できます．
それにもましてこの概念が重要なのは，層に対する空間群の内部構造を理解することが，群の拡大理論に直結し，反対称群などの概念の構築の基礎になることです．