システム管理者
空間群：Fedorov(フェドロフ）群$$\mit\Phi $$
―並進群$$T$$の結晶点群$$G$$あるいは結晶点群に同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$による拡大－
前節の若干抽象的な議論を，具体例を考察して，明確にして行こう．具体例は，一般理論の発展への糸口となる．このように，３次元離散体の空間群（Fedorov群）$$\mit\Phi $$は，並進群$$T$$の結晶点群$$G$$あるいは$$G$$に同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$による正規拡大であることを示そう．
３次元離散体中に単純ベクトル基底$$\left\{ a,b,c \right\} $$をとる．これらは，一般に斜交し，並進軸は$$a,b,c$$その座標は$$ \tilde{X}_{1}, \tilde{X}_{2}, \tilde{X}_{3} $$である．空間格子は，整数座標を持つ点すなわち並進等価な点の系［訳注：格子点］として定義される．格子を自分自身に重ねる任意の並進は，座標原点$$\left( 0,0,0 \right) $$から整数座標の点$$(m_{1},m_{2},m_{3})$$への移動に対応する．言い換えれば，任意の並進は，次のベクトル$$\tau $$で記述される．
$$\tau =m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+m_{3}a_{3}$$; $$a_{1}=a, a_{2}=b, a_{3}=c$$ $$\left( k=1,2,3; m_{k}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right) $$
このようなベクトルの無限集合$$T=\left\{ m_{k}a_{k} \right\} $$は，数学概念での群（離散体に対する並進群）を形成する．群の演算としてベクトルの加算をとれば，集合$$T$$が４つの群公理（p201参照）を満たすことを確かめるのは容易である．
Ⅰ．引き続く２つの並進$$\tau _{i}, \tau _{j}$$は，ベクトル$$\tau _{i}+\tau _{j}=\tau _{k}$$の格子への並進と等価である： ベクトル$$\tau _{i}, \tau _{j}$$が集合$$T$$に属するなら，ベクトル$$\tau _{k}$$は集合$$T$$に属する．
Ⅱ．ベクトルの加算演算は，結合的である： $$\left( \tau _{i}+\tau _{j} \right) +\tau _{k}=\tau _{i}+\left( \tau _{j}+\tau _{k} \right) $$
Ⅲ．群の単位元は，ゼロベクトルである：$$\tau _{i}+0=0+\tau _{i}=\tau _{i}$$
Ⅳ．集合$$T$$の各ベクトル$$\tau _{i}$$に対して，逆ベクトル$$\tau _{i}^{-1}=-\tau _{i}$$を定義でき，$$\tau _{i}+\left( -\tau _{i} \right) =-\tau _{i}+\tau _{i}=0$$
この節の冒頭に掲げた定理の証明には，各ベクトル$$\tau _{i} \in T$$を並進の演算子$$\left[ E|\tau _{i} \right] $$［訳注：Seitz(ザイツ)演算子といわれるもので，[カッコ]内の縦線の左は点群の対称操作を示し，$$E$$は単位元である．縦線の右側は並進操作を示す］に対応させ，べクトル群\$$T$$からこれに同型な演算子群へ移行するのがよい．ベクトルの《積》［訳注：加算のこと］$$\tau _{i}+\tau _{j}$$は，演算子$$\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{j} \right] =\left[ E|\tau _{i}+\tau _{j} \right] $$に対応する．ゼロベクトルは恒等操作$$\left[ E|0 \right] $$，逆ベクトルは逆操作$$\left[ E|\tau _{i} \right] ^{-1}=\left[ E|-\tau _{i} \right] $$に対応する．３次元空間の任意のベクトル$$r=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3}$$に，演算子$$\left[ E|\tau \right] $$を作用させると，ベクトル$$r ' =x_{1} ' a_{1}+x_{2} ' a_{2}+x_{3} ' a_{3}$$に変換され；
$$r ' =\left[ E|\tau \right] r=r+\tau $$
座標$$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$$の点は，点$$(x_{1} ' , x_{2} ' , x_{3} ' )$$に変換される：$$x_{1} ' =x_{1}+m_{1}$$, $$x_{2} ' =x_{2}+m_{2}$$, $$x_{3} ' =x_{3}+m_{3}$$
ここで，$$m_{1}, m_{2}, m_{3}$$はベクトル$$\tau $$の整数座標である．
並進群$$T$$の記述が出来たので，同様に，格子の結晶点群$$G$$に対してもこれを行おう．すなわち，各変換$$g \in G$$に，行列要素$$D_{ij}=\textrm{cos}\left( X_{i} ' , X_{j} \right) $$をもつ直交行列$$D(g)$$を対応させ，結晶群$$2/m$$に対しP.203で行ったと同様に，格子の結晶点群に同型な直交演算子あるいは直交行列の群を作ろう．
直交行列$$D(g)$$を作るには，直交基底$$\left\{ e_{1},e_{2},e_{3} \right\} $$をもつデカルト座標系$$X_{1}, X_{2}, X_{3}$$を用いる．これは，定めた規則（表20参照)により，斜交軸$$\tilde{X}_{1} , \tilde{X}_{2} , \tilde{X}_{3}$$に関係つけられる．直交デカルト座標系では，格子点は，一般に整数座標になるとは限らない．もし，$$\tau =\tau _{1}e_{1}+\tau _{2}e_{2}+\tau _{3}e_{3}$$なら，並進の変換は，$$x_{1} ' =x_{1}+\tau _{1} , x_{2} ' =x_{2}+\tau _{2} , x_{3} ' =x_{3}+\tau _{3}$$と書ける．軸が一致すれば，$$X_{i}=\tilde{X}_{i}$$基底は$$e_{i}=a_{i}$$, 座標は$$\tau _{i}=m_{i} (i=1,2,3)$$である．
演算子$$\left[ D(g)|0 \right] $$あるいは簡潔に$$\left[ D|0 \right] $$は，行列$$D(g)$$に等価で，任意のベクトル$$r=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}$$に作用すると，$$r ' =x_{1} ' e_{1}+x_{2} ' e_{2}+x_{3} ' e_{3}=\left[ D|0 \right] r=Dr$$に変換し，点$$x_{1}, x_{2}, x_{3}$$は，座標$$\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right) $$の列ベクトルを行列$$D$$に乗じて得られる点$$\left( x_{1} ' ,x_{2} ' ,x_{3} ' \right) $$に変換する．基底ベクトルの列ベクトルは，変換$$\left[ D|0 \right] $$のとき，$$D$$で行と列を入れ替えた転置行列$$\tilde{D}$$に乗じられることに注意せよ： $$x_{i} ' =D_{ij}x_{j}$$なら, $$e_{j} ' =D_{ij}e_{i}$$
［訳注）複数回現れる添え字は,1,2,3について和をとる］
離散体の共型(symmorphic)空間群（$$\mit\Phi _{sym}$$と記す）は，$$T$$-群と$$G$$-群のそれぞれの変換を含むほか，それらの結合された演算も含む．離散体の《回転》$$\left[ D|0 \right] $$とそれに引き続き並進$$\left[ E|\tau \right] $$を行うと，結合された変換（運動）に対応する演算子$$\left[ D|\tau \right] =\left[ E|\tau \right] \left[ D|0 \right] $$になる．これは，３次元空間座標の線形非斉次(линейные неоднородные linear inhomogeneous)変換である．
$$x_{1} ' =D_{11}x_{1}+D_{12}x_{2}+D_{13}x_{3}+\tau _{1}$$
$$x_{2} ' =D_{21}x_{1}+D_{22}x_{2}+D_{23}x_{3}+\tau _{2}$$
$$x_{3} ' =D_{31}x_{1}+D_{32}x_{2}+D_{33}x_{3}+\tau _{3}$$
あるいは，演算子の形式では，座標の列をベクトルで置き換え，この線形非斉次方程式系は，(13)のように書ける：
$$ r '=\left[ D|\tau \right]r=Dr+\tau $$ (13)
運動を記述する２つの演算の積（引き続く実行）は(14)となる：
$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \left[ D_{l}|\tau _{k} \right] =\left[ D_{j}D_{l}|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] $$ (14)
この公式が正しいことは，格子の図を描き，任意の注目点の移動を追えば，幾何学的に確かめることができる： 運動演算子の積では，右側の因子の２つの部分（《回転》と並進）は左にある演算子の行列$$D_{j}$$が乗じられ，積の並進部分には左側の因子のベクトル$$\tau _{i}$$が加えられる（行列の順序$$D_{j}D_{l}$$が本質的に重要！）．
［訳注：右側の演算を先に行うので，左側にある演算は右側の演算結果に作用する］
空間群$$\mit\Phi _{sym}$$は，群$$T$$の群$$G$$による拡大であることを確かめるには，この具体的な群が前節の抽象群と同型であることを示せば十分である．群$$\mit\Phi _{sym}$$の全ての変換演算子は，
$$\mit\Phi_{sym}=\left\{ \left[ D_{1}|\tau _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\tau _{1} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\tau _{1} \right] ,\left[ D_{1}|\tau _{2} \right] ,\left[ D_{2}|\tau _{2} \right] , \ldots , \right. $$
$$\left[ D_{s}|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ D_{1}|\tau _{m} \right] , \left[ D_{2}|\tau _{m} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\tau _{m} \right] \left. , \ldots \right\} $$
これは式（４）に従い，並進群と結晶点群にそれぞれ同型な２つの群$$T$$および群$$G$$の対よりなる結合された演算$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] =\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \right) $$で得られる：
$$T=\left\{ \left[ E|\tau _{1} \right] ,\left[ E|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ E|\tau _{m} \right] , \ldots \right\} $$,$$G=\left\{ \left[ D_{1}|0 \right] ,\left[ D_{2}|0 \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|0 \right] \right\} $$
生成群$$T, G$$は，唯一つの共通元，恒等元$$\left[ E|0 \right] (\tau _{1}=0, D_{1}=E$$とすればわかる）をもつ．群$$\mit\Phi _{sym}$$, $$T, G$$は，前節の（抽象）群$$G, H, G^{*}$$に対する幾何学的具体化と呼ぶことが出来る．元の対応は：
$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] \leftrightarrow h_{i}g_{j} \in G$$
$$\left[ E|\tau _{i} \right] \leftrightarrow h_{i} \in H$$
$$\left[ D_{j}|0 \right] \leftrightarrow g_{j} \in G^{*}$$
それぞれの積則は，（14），（7）で，これらの群は同型であることがわかる．
式(14)を(7)の型に書き，$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|0 \right] \ominus \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{l}|0 \right] \right) =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }\left[ D_{j}|0 \right] \left[ D_{l}|0 \right] $$
自己同型（автоморфизм, automorphism)は，$$\left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }=\left[ D_{j}|0 \right] \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{j}^{-1}|0 \right] =\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$ と計算される．群$$T$$は空間群$$\mit\Phi _{sym}$$の正規部分群であるから，任意の$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \in \mit\Phi $$と$$\left[ E|\tau _{k} \right] \in T$$に対し，群$$T$$は自分自身上へ変換され：$$\left[ D_{j}|\tau _{i} \right] T\left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] =T, \left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] \in T$$)であり, 他方，(14)則は運動の演算の半直積に対応する．$$\left[ E|\tau _{k} \right] ^{\left[ D_{j}|0 \right] }=\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$を等式の右辺へ代入し，群$$T$$と群$$G$$で積則に従い，すべての演算子を乗じ，$$\left[ E|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] \left[ D_{j}D_{i}|0 \right] =\left[ D_{j}D_{i}|D_{j}\tau _{k}+\tau _{i} \right] $$を得る．こうして，共型空間群は並進群$$T$$と格子の自己同型の点群$$G$$（あるいはその部分群）との半直積であることがわかった：$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$ ［訳注：$$G^{*}$$の替りに$$G$$と書く］．
格子$$T$$の各計量系は,もとの群だけではなく，$$G$$の部分群（Table20と比較せよ）によっても保存される．７つのケースでは，積$$T \ominus G$$は因子の対称要素の相互方位に依存する*．これに注意して，14の並進群$$T$$（Fig..191を見よ）と32の結晶群$$G$$（Fig..69）の半直積により，73の共型群$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$が得られる．結果は，すでに表12に示したものである．
拡大理論の基礎定理に従い（p.208、図.204を見よ）、空間群$$\mit\Phi _{sym}=T \ominus G$$の存在は，群間の同型対応(изоморфизм, isomorphism)と準同型対応(гомоморфизм，homomorphism)の結果で，群は以下を満たす：
$$\mit\Phi _{sym}=\left\{ \left[ D_{j}|\tau _{i} \right] \right\} $$
$$ \swarrow \searrow $$
$$\mit\Phi /T=\left\{ T\left[ D_{j}|0 \right] \right\} \leftrightarrow \left\{ \left[ D_{j}|0 \right] \right\} =G$$
もし，例えば，共型群$$P2/m$$を，並進群$$P=\left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} $$に関し，剰余類に分解すると，
$$P2/m=\left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(1)|0 \right] \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(2)|0 \right] $$
$$ \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(\overline{1})|0 \right] \cup \left\{ \left[ E|\tau _{i} \right] \right\} \left[ D(m)|0 \right] $$
あるいは，もっと単純な表記法で，$$ \dagger $$ $$P2/m=P1+P2+P\overline{1} +Pm$$
剰余類（商群 の元）の乗積表と群 の演算は同一の構造 ［訳注：同型対応］であることがわかる：
$$ \begin{array}{c|cccc} P2/m/P & P1 & P2 & P\overline{1} & Pm \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2 & P\overline{1} & Pm \\[0mm] P2 & P2 & P1 & Pm & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pm & P\overline{1} & P2 \\[0mm] Pm & Pm & P\overline{1} & P2 & P1 \end{array} $$ $$ \longleftrightarrow $$ $$ \begin{array}{c|cccc} 2/m & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] 2 & 2 & 1 & m & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & m & 1 & 2 \\[0mm] m & m & \overline{1} & 2 & 1 \end{array} $$
もう一つ明らかなのは，準同型対応（homomorphism） $$P2/m \longrightarrow 2/m$$であり，
ここでは，空間群$$P2/m$$の並進等価（"平行"）な対称要素 $$2,m,\overline{1}$$の無限族は，その生成群となった点群$$2/m$$の要素$$2,m,\overline{1}$$に写像される（すべての並進$$\tau \in P$$は恒等元$$1 \in 2/m$$に写像される）．
非共型群$$\mit\Phi _{nsym}$$は，その共型なモデル$$\mit\Phi_{sym}=T \ominus G$$から，点群$$G$$を同型な$$T$$を法とする群$$G^{T}$$で置き換えて得られる．
$$ \mit\Phi_\textrm{nsym}={\{}\left[ D_{1}|\alpha _{1}+\tau _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\alpha _{2}+\tau _{1} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s}+\tau _{1} \right] , \ldots $$
$$ \ldots,[D_{1}|\alpha_{1}+\tau_{m}],[ D_{2}|\alpha_{2}+\tau_{m}], \ldots,[ D_{s}|\alpha_{s}+\tau_{m}], \ldots \right\} $$
群$$\mit\Phi _{\textrm{nsym } }$$は，２つの群の元の対$$\left( \left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] =\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \right) $$よりなる元（演算子）の系である．
$$T=\left\{ \left[ E|\tau _{1} \right] ,\left[ E|\tau _{2} \right] , \ldots ,\left[ E|\tau _{m} \right] , \ldots \right\} $$ $$ G^{T}=\left\{ \left[ D_{1}|\alpha _{1} \right] ,\left[ D_{2}|\alpha _{2} \right] , \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s} \right] \right\} $$
非共型群の演算に対する積則は，規則（14）の一般化である：
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \left[ D_{l}|\alpha _{l} + \tau _{k} \right] =\left[ D_{j}D_{l}|D_{j}\alpha _{l}+D_{j}\tau _{k}+\alpha _{j} + \alpha _{i} \right] $$ (15)
この積則で，集合$$\mit\Phi _{nsym}$$は群をなす．群$$\mit\Phi _{nsym}$$中で，恒等元$$\left[ D_{1}|\alpha _{1} + \tau _{1} \right] \equiv \left[ E|0 \right] $$と逆元$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] ^{-1}=\left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\alpha _{j}-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] $$
が定義される．部分群$$T \subset \mit\Phi_{nsym}$$の不変性は自己同型(автоморфизм，automorphism)変換から導かれる．
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] \left[ E|\tau _{k} \right] \left[ D_{j}^{-1}|-D_{j}^{-1}\alpha _{j}-D_{j}^{-1}\tau _{i} \right] =\left[ E|D_{j}\tau _{k} \right] $$
群$$G^{T}$$と$$G$$の同型対応は，以下の元の対応*と
$$\left[ D_{1}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{1}|0 \right] , \ldots ,\left[ D_{i}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{i}|0 \right] $$
$$\left[ D_{i+1}|\alpha _{i+1} \right] =\left[ E|\alpha _{i+1} \right] \left[ D_{i+1}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{i+1}|0 \right] $$,
$$ \ldots ,\left[ D_{s}|\alpha _{s} \right] =\left[ E|\alpha _{s} \right] \left[ D_{s}|0 \right] \leftrightarrow \left[ D_{s}|0 \right] $$
集合$$G^{T}$$に，還元積則
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \left[ D_{l}|\alpha _{l} \right] =\left[ E|\tau _{jl,n} \right] \left[ D_{n}|\alpha _{n} \right] \equiv \left[ D_{n}|\alpha _{n} \right] \left( \textrm{mod}\left[ E|\tau _{jl,n} \right] \right) $$ (16)
を導入することで，保証される．
ここで，量$$\left[ E|\tau _{jl,n} \right] $$は，合同式の法の第2系(вторую систему модулей сравнения second system of congruence moduli)を構成する．演算子は$$\left[ E|\alpha _{i+1} \right] , \ldots ,\left[ E|\alpha _{s} \right] \notin T$$である．
群$$G^{T}$$の演算子を$$\left[ E|\alpha _{j} \right] \left[ D_{j}|0 \right] $$の形式で書き，前節の（抽象）群$$G^{H}$$の元$$g_{j}^{H}=\alpha _{j}g_{j}$$と比較し，（１６）は（９ｂ）に相当することを見出す．同様に，元の比較
$$\left[ D_{j}|\alpha _{j}+\tau _{i} \right] =\left[ E|\tau _{i} \right] \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \leftrightarrow h_{i}\left( \alpha _{j}g_{j} \right) $$
により，（１５）は（１２）に対応する．すなわち，群$$\mit\Phi _{nsym}$$は，抽象群$$G_{nsym}=H \bigcirc G^{H}$$の幾何学的具体化である．具体形で記述される図204の三角関係を用い
$$\mit\Phi _{nsym}=\left\{ \left[ D_{j}|\alpha _{j} + \tau _{i} \right] \right\} $$
$$ \swarrow \searrow $$
$$\mit\Phi /T=\left\{ T\left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \right\} \leftrightarrow \left\{ \left[ D_{j}|\alpha _{j} \right] \right\} =G^{T} \leftrightarrow G=\left\{ \left[ D_{j}|0 \right] \right\} $$
非共型空間群は，条件半直積で作られる$$\mit\Phi _{nsym}=T \bigcirc G^{T}$$ことがわかる．