システム管理者
◆互いに双対な図形の対称性は同一．
◆鏡映操作と回転操作の違い：
3次元空間の物体とその鏡映像（互いにキラル）は，3次元空間内の運動で物体に重ねることができない．ただし，次元を１つ上げた4次元空間ならばこれは可能である．
◆［必要な群概念］群，部分群，正規部分群，正規列，共役類，群の拡大．
◆対称性の高低とは何かを，部分群の列（正規列，非正規列）で説明する．
［群概念の演習］群の乗積表．点群$$4mm$$の中の部分群と正規部分群を見いだせ．
正規部分群 ; $$2mm$$， 4， 2． 部分群；$$m$$．
正規部分群$$H⊲G$$の定義は，任意の$$a∈G$$に対して$$aHa^{-1}=H$$となることである．
正規部分群であるかのチェックは，「点群$$4mm$$の共役類を調べる」を参照せよ．
互いに共役という関係は同値関係である．効果が同等な対称操作は同じ共役類に属することがわかる．表中に点群$$4mm$$の共役類を色分けし表示した．
◆群の行列表現には，ここでは深入りしない．異値の既約表現の数は共役類の数だけある．
例えば，シクロブタジエン(点群$$4mm$$)のπ電子系の分子軌道（４つのC原子の原子軌道の線形結合）の永年方程式（固有値問題）を解き，エネルギー準位などが求まる．あるいは，4つの原子軌道関数を基底にして作った分子軌道（点群$$4mm$$）の正則表現を簡約して，それに含まれる既約表現を求めるのだが，各既約表現はエネルギー準位に対応する．
点群$$4mm$$には，$$2mm$$あるいは４が正規部分群として含まれる．点群$$4mm$$の正規部分群を核として準同型写像すると，点群$$4mm$$は商群に還元できる：$$4mm/2mm=4$$(mod2)， $$4mm/4≅m$$．
部分群$$C_{2}$$あるいは$$m$$は，$$4mm$$の正規部分群ではないので，ラグランジュ展開はできるが，剰余類は群をなさない．
大きな群は，その正規部分群を，何らかの部分群（あるいは正規部分群）で拡大した構造になっている．これを正規拡大という．非正規の部分群を，何らかの非正規部分群で拡大した構造は，非正規の拡大という．非正規拡大は難問．例えば，部分群$$K$$の共役集合の重畳という構造をもつ代数系（特殊な亜群）などがある．
このエッシャー作品は，色の区別をしないとして幾何空間的に見れば，1つのトカゲのモチーフでできている．トカゲの左手の集まっている点には6回回転軸；
色を区別する超幾何空間なら3色の巡回置換の3回軸と色を保存する2回回転軸が共存する（これを$$6^{(3)}$$と表示）．格子は単純な3角格子である．したがって，色の見分けができなければ古典群P6，色の見分けができれば$$P6^{(3)}$$の3色群である．空間群$$G$$には正規部分群として並進群Hが含まれる．$$H$$に関するラグランジュ展開の各剰余類を図解する．並進群$$H$$を法として同値とは，格子点に散らばっているトカゲを代表元１つにまとめることである．こうして，代表元系は，$$\{1,6,6^{2},\dots,6^{5}\}=G^*$$に同型な群をなす．
2次元の格子を，対称性で分類すると5種類（2次元ブラベー格子）．2次元には，互いに独立な並進ベクトル２つがとれる．この2つの並進ベクトルの組を対称性で分類すると5種類になる．格子点間の垂直2等分線で囲まれる図形を「ディリクレ胞」というが，「ディリクレ胞」の形で分類したという見方もできる．
空間群には，正規部分群として並進群（格子）が含まれているので，並進群を結晶点群で拡大して空間群が得られる．組み合わされる点群は格子と両立する対称性のものである．一例として，直方（長方形）単純格子の格子点に，点群$$2mm$$の有限図形を配置して，空間群$$P2mm$$が得られる．
$$P2mm$$は共形群である．点群$$2mm$$の鏡映操作$$m$$を，映進操作$$g$$で置き換えることを考える．映進操作$$g$$とは，鏡映と鏡映面に沿った周期$$T/2$$の並進を組み合わせた操作のことである．したがって，映進を2回繰り返すと，$$g^{2}=T$$となり，格子分だけの移動になる．結晶格子は無限に繰り返すので，並進周期だけ移動した点はすべて同値である．そこで，映進操作，$$g^{2}=1(modT）$$は，周期的空間の対称操作となる．共型群$$P2mm$$から非共型群$$P2mg，P2gg$$が導ける．映進操作gは，非対称要素（モチーフ）を隣の胞に移動させてしまうが，格子を法と同値とすれば，単位胞内に（還元）引き戻せる．群$$G$$はその部分群$$H$$に関して剰余類の直和に展開（ラグランジュ展開）できる．特に，$$H$$が正規部分群である場合が重要で，剰余類は$$H$$を法として群（商群）をなす．
空間群の拡大では，正規部分群は非常に重要な役割を演ずる．$$H$$が$$G$$の正規部分群であるとき，$$H$$に関する剰余類は，$$H$$を法として商群$$G/H$$をなす．
逆に，$$\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r }\}=G^{*}$$とし，群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して群$$G$$を得る．
正規部分群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して$$G$$が得られるのだが，$$G^*$$も正規部分群である場合は直積；$$G^*$$が非正規の部分群である場合には半直積；$$G^*$$が$$H$$を法として群となる（モジュラー群）の場合には条件積；で表現する．
19世紀末の３次元結晶空間群230種の数え上げは，20世紀結晶構造解析の基礎となる．古典群に関してはここで一段落とする．
